Bipolo

Un bipolo, in elettrotecnica, è un elemento circuitale dotato di due morsetti che gli consentono di interagire con i fenomeni elettromagnetici esterni e il cui comportamento agli effetti esterni è completamente definito dal legame costitutivo tra tensione e corrente.

In automatica è assimilabile a un modello black box il cui comportamento è definito da una funzione di trasferimento.

Le proprietà fondamentali del bipolo sono due: la tensione tra i due morsetti del bipolo è indipendente dal cammino percorso e la corrente entrante che lo attraversa è, a meno del segno, uguale a quella uscente.

Definizione

Condizioni

La descrizione del campo elettromagnetico è basata sulle equazioni di Maxwell e in particolare la sua dinamica è descritta dalla legge di Faraday e dalla legge di Ampère-Maxwell, rispettivamente:

$\nabla \times 𝐄 = - \frac{\partial 𝐁}{\partial t} \nabla \times 𝐇 = 𝐉_{f} + \frac{\partial 𝐃}{\partial t}$

Nel caso di regime stazionario, ovvero a flusso magnetico e flusso elettrico costanti come in corrente continua, le correnti dovute alla variazione del campo elettromagnetico e alla polarizzazione elettrica e magnetica sono nulle quindi le due equazioni possono essere semplificate come segue:

$\nabla \times 𝐄 = 0 \nabla \times 𝐇 = 𝐉_{f}$

Queste semplificazioni possono essere ritenute valide anche nel caso sia verificata la condizione di Max Abraham, in un regime variabile infatti, se la lunghezza d'onda del campo elettromagnetico $λ$ è molto superiore alle dimensioni del sistema elettromagnetico $λ ≫ L$ allora il tempo che il fronte d'onda impiega ad attraversare tutto il sistema può essere considerato nullo e di conseguenza il regime variabile in esame può essere considerato quasi stazionario, semplificazione che consente l'utilizzo delle equazioni di Maxwell trascurando le variabili spaziali e ottenere quindi un modello a parametri concentrati. Considerato che la corrente alternata è distribuita in Europa, Asia e Africa alla frequenza di 50 Hz (in America e parte del Giappone a 60 Hz) allora la condizione di Max Abraham è rispettata per sistemi con dimensioni molto inferiori a una lunghezza d'onda di circa 6000 km, di conseguenza nelle linee di trasmissione è necessario adottare un modello a parametri distribuiti.

Bipolo

Un bipolo è un elemento costituito dall'unione tra una superficie chiusa e una porta elettrica formata da due conduttori aventi per estremi una coppia ordinata di morsetti ${A, B}$ in regime quasi stazionario. Da questa definizione derivano le due proprietà fondamentali del bipolo: la tensione tra i due morsetti del bipolo è indipendente dal cammino percorso e la corrente entrante che lo attraversa è uguale in modulo a quella uscente.

In regime quasi stazionario il campo elettrico $𝐄$ è un campo vettoriale conservativo infatti $\nabla \times 𝐄 = 0$ ed è quindi esprimibile come gradiente di un potenziale scalare, il potenziale elettrico: $𝐄 = - \nabla V$ . In forma globale si ha allora che l'integrale tra ${A, B}$ sul cammino $Γ_{A B}$ per il teorema del gradiente è:

$\int_{Γ_{A B}} 𝐄 \cdot d 𝐥 = \int_{A}^{B} - \nabla V \cdot d 𝐥 = V_{A} - V_{B}$

La tensione $V_{A B}$ ai morsetti del bipolo allora è pari alla differenza di potenziale elettrico tra le due superfici di livello passanti per i morsetti ${A, B}$ ed è indipendente dal cammino di integrazione $Γ_{A B}$ .

In regime quasi stazionario l'unica corrente presente è quella di conduzione che è determinata dal campo di densità di corrente delle cariche libere $𝐉_{f}$ . Si ottiene allora che la corrente di conduzione $I_{A}$ entrante nel morsetto $A$ con sezione $𝐒_{A}$ di superficie $S_{A}$ e orientamento normale è pari a meno del segno alla corrente $I_{B}$ uscente dal morsetto $B$ di sezione $𝐒_{B}$ :

$I_{A} = \int_{S_{A}} 𝐉_{f} \cdot d 𝐒 = - \int_{S_{B}} 𝐉_{f} \cdot d 𝐒 = - I_{B}$

Siccome la superficie chiusa del bipolo è impermeabile a ogni fenomeno elettromagnetico allora agli effetti esterni questo è completamente identificato dalla conoscenza della tensione e della corrente ai suoi morsetti, unici punti in cui il bipolo può comunicare attraverso fenomeni elettromagnetici con l'esterno.

Legame costitutivo

Il comportamento agli effetti esterni di un bipolo è completamente definito dal legame costitutivo che intercorre tra le funzioni rispetto al tempo di tensione $v (t)$ e corrente $i (t)$ . Se il legame è definito da:

f (V, I) = 0

allora il bipolo si dice stazionario. Se invece la caratteristica tensione-corrente è della forma:

f (v (t), i (t), d / d t, \int d t) = 0

cioè le grandezze variano nel tempo e appaiono derivate e integrali delle tensioni e delle correnti, allora il bipolo è detto dinamico. la caratteristica tensione-corrente del bipolo è in genere rappresentabile con una o più curve nel grafico V-I. Il bipolo stazionario ha una sola caratteristica mentre il bipolo dinamico ne ha infinite a seconda del regime di funzionamento: per esempio imponendo una certa corrente se ne calcola la tensione ai capi (bipolo controllato in corrente). Un altro modo di esprimere la caratteristica è:

v = f (i)

oppure

i = g (v)

Bipolo lineare

Ebbene a seconda della caratteristica il bipolo è lineare se la caratteristica è lineare cioè della forma (per esempio):

v = k \cdot i

Che su un diagramma tensione-corrente rappresenta appunto, una retta passante per l'origine.

Valgono inoltre le proprietà dell'additività e dell'omogeneità (proprietà degli omomorfismi):

f (i_{1} + i_{2}) = f (i_{1}) + f (i_{2})

f (α i) = α f (i)

con $α \in ℝ$ .

Analisi termodinamica

Un bipolo è assimilabile a un sistema termodinamico che scambia lavoro elettrico $L_{e}$ con l'esterno tramite i suoi morsetti, mentre tramite la sua superficie chiusa scambia lavoro non elettrico $L$ in modo reversibile e calore $Q$ . Secondo il primo principio della termodinamica allora definite l'energia potenziale elettrica $U_{e}$ e l'energia magnetica $U_{m}$ accumulate nel bipolo si ha che:

$δ L_{e} = δ Q + d U_{e} + d U_{m} - δ L$

Definita la potenza elettrica $p = v i$ allora il lavoro elettrico scambiato da un bipolo è $δ L_{e} = p d t = v i d t$ .

Bipoli perfetti

Bipolo resistivo

Bipolo che trasforma irreversibilmente il lavoro elettrico in calore.

$δ L_{e} = δ Q$

Il componente elettrico corrispondente è il resistore. Si tratta di un bipolo lineare e passivo in quanto la sua potenza è sempre assorbita. L'energia del resistore è trasformata in calore irreversibilmente per effetto Joule. L'equazione costitutiva che caratterizza un resistore attraversato da una corrente elettrica i e sottoposto ad una tensione elettrica v risulta essere:

$v = R i$

Bipolo capacitivo

Bipolo che trasforma reversibilmente il lavoro elettrico in energia potenziale elettrica.

$δ L_{e} = d U_{e}$

Il componente elettrico corrispondente è il condensatore. Tra i bipoli dinamici vi sono i condensatori con caratteristica dinamica:

$i (t) = C \cdot \frac{d v (t)}{d t}$

dove $C$ è la capacità. Esso è anche un elemento dotato di memoria poiché la sua caratteristica è univocamente determinata solo se si conosce il valore iniziale al tempo $t_{0}$ della tensione. Inoltre il condensatore non è un bipolo strettamente passivo infatti può anche essere $p (t) = 0$ . In tal caso il bipolo è conservativo, esso può immagazzinare energia e rilasciarla completamente (e idealmente).

Bipolo induttivo

Bipolo che trasforma reversibilmente il lavoro elettrico in energia magnetica e il componente elettrico corrispondente è l'induttore.

$δ L_{e} = d U_{m}$

Il componente elettrico corrispondente è l'induttore. Tra i bipoli dinamici vi sono gli induttori con caratteristica dinamica:

$v (t) = L \cdot \frac{d i (t)}{d t}$

dove $L$ è l'induttanza. Esso è anche un elemento dotato di memoria poiché la sua caratteristica è univocamente determinata solo se si conosce il valore iniziale al tempo $t_{0}$ della corrente. Inoltre l'induttore non è un bipolo strettamente passivo infatti può anche essere $p (t) = 0$ . In tal caso il bipolo è conservativo, esso può immagazzinare energia e rilasciarla completamente (e idealmente).

Bipolo convertitore

Bipolo che trasforma reversibilmente lavoro elettrico in lavoro non elettrico.

$δ L_{e} = - δ L$

Il componente elettrico corrispondente è l'utilizzatore nel caso di lavoro elettrico assorbito o il generatore nel caso di lavoro elettrico generato. Gli elementi che forniscono energia sotto forma di tensione sono i generatori: in particolare il generatore di tensione ideale e il generatore di corrente ideale. Essi sono detti ideali perché teoricamente possono fornire tensioni o correnti indefinitamente nel tempo e senza dissipazione. In realtà questo non è mai vero. Le caratteristiche del generatore sono lineari e quindi il bipolo generatore è lineare, inoltre essi possono fornire energia o anche dissiparla e quindi sono bipoli attivi ma anche passivi.

Bipoli attivi e passivi

A seconda della trasformazione energetica o in generale dell'energia associata ad un bipolo, questo può essere attivo o passivo. Consideriamo un bipolo e calcoliamo l'energia tra due istanti di tempo $t_{0}, t$ :

Δ W = \int_{t_{0}}^{t} p (t) d t

ebbene se tale energia è sempre positiva data la convenzione dell'utilizzatore: $Δ W ⩾ 0$ allora il bipolo è detto passivo (strettamente passivo se $Δ W > 0$ ), cioè il bipolo assorbe energia. Viceversa se $Δ W ⩽ 0$ allora il bipolo eroga (ossia attua un assorbimento negativo di energia) ed è detto attivo (strettamente attivo se $Δ W < 0$ ). Il caso $Δ W = 0$ è un caso particolare che implica che il bipolo conserva l'energia.

Note

↑ Morando, Leva, p. 299.
↑ Morando, Leva, p. 304.
↑ Morando, Leva, p. 303.
↑ Morando, Leva, p. 3.
↑ Morando, Leva, pp. 7-8.
1 2 3 Morando, Leva, p. 305.
↑ Morando, Leva, p. 16.

Bibliografia

Adriano Paolo Morando e Sonia Leva, Elettrotecnica reti campi, 2ª ed., Bologna, Società Editrice Esculapio, 2001 [1998], ISBN 88-86524-21-8.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

bipolo, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

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[1] Morando, Leva, p. 299.

[2] Morando, Leva, p. 304.

[3] Morando, Leva, p. 303.

[4] Morando, Leva, p. 3.

[5] Morando, Leva, pp. 7-8.

[:0-6] 1 2 3 Morando, Leva, p. 305.

[7] Morando, Leva, p. 16.