Cardioide

In geometria la cardioide è una curva piana e più precisamente una epicicloide con una e una sola cuspide. Essa è quindi una curva che si può ottenere tracciando il percorso di un punto scelto su una circonferenza che viene fatta rotolare senza scivolamenti intorno ad un'altra circonferenza di raggio uguale e mantenuta fissa. La cardioide può anche essere vista come un caso particolare di limaçon.

Il suo nome esprime la sua forma di un cuore stilizzato e deriva dal greco kardioeides = kardia (cuore) + eidos (forma).

Equazioni

La cardioide, dato che è una epicicloide con una cuspide, è individuata dalle seguenti equazioni parametriche in cui la lunghezza del raggio di entrambi i cerchi è uguale a $r$ :

{\begin{matrix} x (θ) = r (1 - 2 \cos θ + \cos 2 θ) \\ y (θ) = r (2 \sin θ - \sin 2 θ) . \end{matrix}

Questa curva viene individuata anche dall'equazione in coordinate polari

ρ = 2 r (1 - \cos θ) .

In particolare le sopracitate equazioni parametriche descrivono una epicicloide che ha la cuspide nell'origine e che si sviluppa verso destra.

Dimostrazione

La coordinata polare radiale $ρ (θ)$ è data da:

\begin{matrix} ρ (θ) & = \sqrt{x^{2} (θ) + y^{2} (θ)} \\ = r \sqrt{{(1 - 2 \cos θ + \cos 2 θ)}^{2} + (2 \sin θ - \sin 2 θ)^{2}} \\ = r \sqrt{1 + 4 \cos^{2} θ + \cos^{2} 2 θ - 4 \cos θ + 2 \cos 2 θ - 4 \cos θ \cos 2 θ + 4 \sin^{2} θ + \sin^{2} 2 θ - 4 \sin θ \sin 2 θ} \\ = r \sqrt{1 + 4 (\sin^{2} θ + \cos^{2} θ) + (\sin^{2} 2 θ + \cos^{2} 2 θ) - 4 (\cos θ \cos 2 θ + \sin θ \sin 2 θ) - 4 \cos θ + 2 \cos 2 θ} . \end{matrix}

Ora si può semplificare applicando la relazione trigonometrica fondamentale:

\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1,

\cos^{2} 2 θ + \sin^{2} 2 θ = 1,

e la formula di sottrazione del coseno:

\cos θ \cos 2 θ + \sin θ \sin 2 θ = \cos (θ - 2 θ) = \cos (- θ) = \cos θ .

Quindi

\begin{matrix} ρ & = r \sqrt{1 + 4 + 1 - 4 \cos θ - 4 \cos θ + 2 \cos 2 θ} \\ = r \sqrt{6 - 8 \cos θ + 2 \cos 2 θ} \\ = r \sqrt{2 (3 - 4 \cos θ + \cos 2 θ)} . \end{matrix}

A questo punto, grazie alla formula di duplicazione del coseno:

\cos 2 θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ = 2 \cos^{2} θ - 1,

segue che

\begin{matrix} ρ & = r \sqrt{2 (3 - 4 \cos θ + 2 \cos^{2} θ - 1)} \\ = r \sqrt{2 (2 - 4 \cos θ + 2 \cos^{2} θ)} \\ = r \sqrt{4 (1 - 2 \cos θ + \cos^{2} θ)} \\ = 2 r (1 - \cos θ) . \end{matrix}

Quantità geometriche

Di seguito, alcuni valori geometrici che caratterizzano la cardioide.

Lunghezza

Usando l'equazione polare della cardioide, ogni punto che appartiene alla curva ha coordinate:

{\begin{matrix} x (θ) = ρ (θ) \cos θ \\ y (θ) = ρ (θ) \sin θ . \end{matrix}

La lunghezza della cardioide è quindi calcolabile con:

L = \int_{0}^{2 π} ‖ \dot{γ} (θ) ‖ d θ = \int_{0}^{2 π} \sqrt{{\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}} d θ .

Inserendo le equazioni nell'integrale e ricordando le formule di bisezione si ottiene:

L = 2 r \int_{0}^{2 π} \sqrt{2 (1 - \cos θ)} d θ = 4 r \int_{0}^{2 π} | \sin \frac{θ}{2} | d θ = 8 r {[- \cos \frac{θ}{2}]}_{0}^{2 π} = 16 r .

La lunghezza della cardioide è quindi $16 r$ .

Area

L'area della cardioide si può calcolare direttamente in coordinate polari, ricordando che:

\iint d x d y = \iint ϱ d ϱ d θ .

Si ha allora:

A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {ρ (θ)}^{2} d θ = 2 r^{2} \int_{0}^{2 π} (1 - \cos θ)^{2} d θ = 2 r^{2} {[\frac{3}{2} θ - 2 \sin θ + \frac{1}{4} \sin 2 θ]}_{0}^{2 π} = 2 r^{2} \cdot 3 π = 6 π r^{2} .

L'area della cardioide è $6 π r^{2}$ , ossia 6 volte l'area dei cerchi di riferimento.

Baricentro

Il baricentro $G$ di una cardioide uniforme ha, per ragioni di simmetria, ordinata nulla. Per l'ascissa:

A x_{G} = \iint x d x d y,

dove $A$ è l'area della cardioide. In coordinate polari si ha quindi:

A x_{G} = \iint ϱ^{2} \cos θ d ϱ d θ = \int_{0}^{2 π} (\int_{0}^{ρ (θ)} ϱ^{2} d ϱ) \cos θ d θ = \frac{1}{3} \int_{0}^{2 π} {ρ (θ)}^{3} \cos θ d θ = \dots = - 10 π r^{3},

dove abbiamo sfruttato il teorema di Fubini, essendo la superficie da essa racchiusa un dominio normale rispetto a $θ$ . In conclusione, si ricava $x_{G} = - \frac{5}{3} r$ .

Il baricentro della cardioide ha quindi coordinate:

G = (x_{G}; y_{G}) = (- \frac{5}{3} r; 0) .

Cardioide di rotazione

Si supponga di far ruotare la cardioide attorno al suo asse di simmetria. Siano le ascisse tale asse. Per coerenza con le definizioni delle coordinate sferiche, si consideri di far ruotare attorno all'asse soltanto la porzione di cardiode con ordinate positive. Tale richiesta equivale a imporre che l'angolo latitudinale $θ$ vari tra $0$ e $π$ .

Volume

Integrando in coordinate sferiche, si ha:

∭ d x d y d z = ∭ ϱ^{2} \sin θ d ϱ d θ d ϕ,

dove $ϕ$ è l'angolo longitudine che misura l'ampiezza della rotazione. Se la rotazione è completa, $ϕ$ varia tra $0$ e $2 π$ . Si supponga di far ruotare la cardioide attorno al suo asse di un angolo $α$ . Si ha:

V = ∭ ϱ^{2} \sin θ d ϱ d θ d ϕ = \int_{0}^{α} d ϕ \int_{0}^{π} (\int_{0}^{ρ (θ)} ϱ^{2} d ϱ) \sin θ d θ = α \frac{1}{3} \int_{0}^{π} {ρ (θ)}^{3} \sin θ d θ = \dots = \frac{32}{3} α r^{3} .

Quindi, se la rotazione è completa ( $α = 2 π$ ), il volume del solido di rotazione che si ottiene vale $\frac{64}{3} π r^{3} .$

Altre proprietà

La cardioide può considerarsi come una particolare chiocciola di Pascal, l'unica dotata di una cuspide.

La cardioide risulta anche essere una trasformata inversa di una parabola.

La estesa figura centrale nera di un insieme di Mandelbrot è una cardioide. Tale cardioide è circondata da una configurazione frattale di cerchi.

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Hearty Munching on Cardioids, su cut-the-knot.org.

Cardioide, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Cardioid, su MathWorld, Wolfram Research.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 31689 · LCCN (EN) sh85020208 · J9U (EN, HE) 987007283476905171

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