Cuspide (matematica)

In analisi matematica, si dice che una funzione di variabile reale $f (x)$ continua in un punto $x_{0}$ del dominio, ha una cuspide in $x_{0}$ se si verifica la seguente condizione:

lim_{h \to 0^{+}} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} = \pm \infty, lim_{h \to 0^{-}} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} = \mp \infty,

ossia i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale in $x_{0}$ sono divergenti (tendenti a $\pm \infty$ ) con segno opposto. Geometricamente, si può osservare come le semitangenti destra e sinistra siano verticali e formino un angolo nullo.

Esempio

Si consideri la funzione $f (x) = \sqrt{| x |}$ definita per $x \in ℝ$ . La derivata della funzione è

f^{'} (x) = {\begin{matrix} - \frac{1}{2 \sqrt{- x}} & se x < 0, \\ \frac{1}{2 \sqrt{x}} & se x > 0, \end{matrix}

e passando al limite per $x \to 0$ si ha

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{2 \sqrt{x}} = + \infty, lim_{x \to 0^{-}} - \frac{1}{2 \sqrt{- x}} = - \infty .

Dunque la funzione presenta una cuspide in $0$ .

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

cuspide, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Cusp, su MathWorld, Wolfram Research.

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