Primitiva (matematica)

In analisi matematica, si dice primitiva o antiderivata di una funzione $f$ una funzione derivabile $F$ la cui derivata è uguale alla funzione di partenza. Denotando con l'apice la derivata, $F^{'} (x) = f (x)$ . L'insieme di tutte le primitive di una funzione $f$ è detto integrale indefinito di $f$ . Il calcolo della primitiva è strettamente legato alla risoluzione degli integrali definiti dal teorema fondamentale del calcolo integrale: infatti, l'integrale di una funzione, se esiste, è uguale alla differenza dei valori della primitiva sugli estremi di integrazione.

Definizione

Data una funzione $f : I \to ℝ$ , definita su un intervallo $I \subset ℝ$ , si definisce primitiva una funzione $F : I \to ℝ$ tale che

F^{'} (x) = f (x)

per ogni $x \in I$ .

Se $F$ è una primitiva di $f$ , tutte e sole le primitive di $f$ sono nella forma $F (x) + C$ , dove $C$ è una costante arbitraria reale.

L'integrale indefinito di $f$ è l'insieme di tutte le sue primitive. Esso si denota con il simbolo

\int f (x) d x

e se $F$ è una particolare primitiva di $f$ , allora

\int f (x) d x = F (x) + C

al variare di $C \in ℝ$ .

Principali primitive

Un metodo spesso utilizzato per calcolare le primitive di una funzione razionale è la decomposizione in fratti semplici. Per gli altri casi, alcune primitive molto frequenti sono esposte nel seguito:

$\int x^{a} d x = \frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C$	con $a \neq - 1$
$\int \frac{1}{x} d x = \ln \| x \| + C$
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$
$\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$	con $a > 0$ , $a \neq 1$
$\int \sin x d x = - \cos x + C$
$\int \cos x d x = \sin x + C$
$\int \tan x d x = - \ln \| \cos x \| + C$
$\int \cot x d x = \ln \| \sin x \| + C$
$\int \sinh x d x = \cosh x + C$
$\int \cosh x d x = \sinh x + C$
$\int \tanh x d x = \ln (\cosh x) + C$
$\int \coth x d x = \ln \| (\sinh x) \| + C$
$\int \frac{1}{(\cos x)^{2}} d x = \tan x + C$
$\int \frac{1}{(\sin x)^{2}} d x = - \cot x + C$
$\int \frac{1}{(\cosh x)^{2}} d x = \tanh x + C$
$\int \frac{1}{(\sinh x)^{2}} d x = - \coth x + C$
$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \arctan x + C$
$\int \frac{1}{1 - x^{2}} d x = \frac{1}{2} \ln \frac{x + 1}{x - 1} + C$	con $\| x \| > 1$
$\int \frac{1}{\sqrt[]{1 - x^{2}}} d x = \arcsin x + C$
$\int \frac{1}{\sqrt[]{1 + x^{2}}} d x = \ln \| x + \sqrt[]{1 + x^{2}} \| + C$
$\int \frac{1}{\sqrt[]{x^{2} - 1}} d x = \ln \| x + \sqrt[]{x^{2} - 1} \| + C$	con $\| x \| > 1$

Note

1 2 Soardi, P. M., cap. 9.
↑ Soardi, P. M., cap. 10.

Bibliografia

Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.
(EN) Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
(EN) Historical Essay On Continuity Of Derivatives, by Dave L. Renfro;

Voci correlate

Altri progetti

Wikizionario contiene il lemma di dizionario «primitiva»

Collegamenti esterni

primitiva, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
(EN) Antiderivative calculator with step-by-step solutions Archiviato il 23 agosto 2013 in Internet Archive. — supports all common methods and rules of integration
(EN) Mathematical Assistant on Web — symbolic computations online. Allows to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima

Controllo di autorità	GND (DE) 4182868-9

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[def-1] 1 2 Soardi, P. M., cap. 9.

[2] Soardi, P. M., cap. 10.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili	Analisi matematica
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy