Funzione differenziabile

In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria differenziale, una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto.

Affinché ciò si verifichi è necessario (ma non sufficiente) che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile, allora è derivabile nel punto poiché esistono e sono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali. Il concetto di differenziabilità permette di generalizzare il concetto di funzione derivabile a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e la differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.

Una funzione può essere differenziabile $k$ volte, e si parla in questo caso di funzione di classe $C^{k}$ . Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta liscia. Nell'analisi funzionale le distinzioni fra le varie classi $C^{k}$ sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine "funzione differenziabile" per definire una funzione liscia.

Definizione

Una funzione:

𝐅 : U \to ℝ^{m}

definita su un insieme aperto dello spazio euclideo $ℝ^{n}$ è detta differenziabile in un punto $𝐱_{0}$ del dominio se esiste una applicazione lineare:

𝐋 (𝐱_{0}) : ℝ^{n} \to ℝ^{m}

tale che valga l'approssimazione:

𝐅 (𝐱_{0} + 𝐡) - 𝐅 (𝐱_{0}) = 𝐋 (𝐱_{0}) 𝐡 + 𝐫 (𝐡),

dove $𝐫 (𝐡)$ si annulla, con ordine di infinitesimo maggiore di 1, all'annullarsi dell'incremento $𝐡$ . Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

lim_{𝐡 \to 𝟎} \frac{𝐅 (𝐱_{0} + 𝐡) - 𝐅 (𝐱_{0}) - 𝐋 (𝐱_{0}) 𝐡}{‖ \begin{matrix} 𝐡 \end{matrix} ‖} = 𝟎 .

Se la funzione $𝐅$ è differenziabile in $𝐱_{0}$ , l'applicazione $𝐋$ è rappresentata dalla matrice jacobiana $J_{F}$ .

Il vettore:

𝐋 (𝐱_{0}) 𝐡 = d 𝐅 (𝐱_{0}) = J_{F} 𝐡

si chiama differenziale (esatto) di $𝐅$ in $𝐱_{0}$ ed $𝐋 (𝐱_{𝟎})$ viene detto derivata o anche derivata totale della funzione $𝐅$ .

La funzione $𝐅$ è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio. In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa $𝐱$ a $𝐋 (𝐱)$ è continua, la funzione si dice differenziabile con continuità.

Nel caso di una funzione $f$ di una variabile definita su un intervallo aperto dell'asse reale, essa è detta differenziabile in $x_{0}$ se esiste un'applicazione lineare $L (x_{0}) : ℝ \to ℝ$ tale che:

lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0}) - L (x_{0}) h}{h} = 0

ed in tal caso si ha:

L (x) = f^{'} (x) .

Matrice jacobiana

Se una funzione è differenziabile in un punto allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono, ma non vale il viceversa. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un intorno del punto allora la funzione è differenziabile nel punto, ovvero è di classe $C^{1}$ .

Dette ${𝐞_{j}}_{1 \leq j \leq n}$ e ${𝐮_{i}}_{1 \leq i \leq m}$ le basi canoniche di $ℝ^{n}$ e $ℝ^{m}$ rispettivamente, si ha:

𝐋 (𝐱) \cdot 𝐞_{j} = \sum_{i = 1}^{m} \frac{\partial F_{i} (𝐱)}{\partial x_{j}} \cdot 𝐮_{i} .

L'applicazione lineare $𝐋 (𝐱_{0})$ è quindi rappresentata nelle basi canoniche da una matrice $m \times n$ , detta matrice jacobiana $J_{F}$ di $F$ in $𝐱_{0}$ .

Il $j$ -esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:

𝐋 (𝐱) 𝐡 = \sum_{i = 1}^{m} [\sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial F_{i} (𝐱)}{\partial x_{j}} h_{j}] 𝐮_{i} = J_{F} 𝐡 = [\begin{matrix} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial F_{m}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial F_{m}}{\partial x_{n}} \end{matrix}] 𝐡 .

A seconda delle dimensioni $m$ e $n$ , il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

Se $m = 1$ , la matrice jacobiana si riduce ad un vettore $n$ -dimensionale, chiamato gradiente di $F$ in $𝐱_{0}$ . In tal caso si ha:

L (𝐱) = \nabla F (𝐱) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial F (𝐱)}{\partial x_{j}} 𝐞_{i} lim_{𝐡 \to 𝟎} \frac{F (𝐱_{0} + 𝐡) - F (𝐱_{0}) - \nabla F (𝐱_{0}) \cdot 𝐡}{‖ \begin{matrix} 𝐡 \end{matrix} ‖} = 0 .

Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

Se $n = 1$ , la funzione $F$ parametrizza una curva in $ℝ^{m}$ , il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

Se $m = n = 1$ , la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

Differenziabilità in analisi complessa

Sia $U$ un sottoinsieme aperto del piano complesso $ℂ$ . Una funzione $f : U \to ℂ$ è differenziabile in senso complesso ( $ℂ$ -differenziabile) in un punto $z_{0}$ di $U$ se esiste il limite:

f^{'} (z_{0}) = lim_{z \to z_{0}} \frac{f (z) - f (z_{0})}{z - z_{0}} .

Il limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a $z_{0}$ il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con $f^{'} (z_{0})$ . Se $f$ è differenziabile in senso complesso in ogni punto $z_{0}$ di $U$ , essa è una funzione olomorfa su $U$ . Si dice inoltre che $f$ è olomorfa nel punto $z_{0}$ se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che $f$ è olomorfa in un insieme non aperto $A$ se è olomorfa in un aperto contenente $A$ .

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa $f (z) \equiv f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ è olomorfa allora $u$ e $v$ possiedono derivata parziale prima rispetto a $x$ e $y$ e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} .

In modo equivalente, la derivata di Wirtinger $\partial f / \partial \overline{z}$ di $f$ rispetto al complesso coniugato $\overline{z}$ di $z$ è nulla.

Proprietà delle funzioni differenziabili

Una funzione differenziabile in un punto $𝐱_{0}$ è continua in $𝐱_{0}$ . Infatti:

lim_{𝐡 \to 𝟎} F (𝐱_{0} + 𝐡) - F (𝐱_{0}) = lim_{𝐡 \to 𝟎} ‖ \begin{matrix} 𝐡 \end{matrix} ‖ \frac{F (𝐱_{0} + 𝐡) - F (𝐱_{0}) - A 𝐡}{‖ \begin{matrix} 𝐡 \end{matrix} ‖} + A 𝐡 = 𝟎

per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.

Se $F : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ è una funzione differenziabile in $𝐱_{0}$ , allora essa ammette tutte le derivate parziali in $𝐱_{0}$ . Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:

F (x, y) = {\begin{matrix} 0 & (x, y) = (0, 0) \\ \frac{x y^{2}}{x^{2} + y^{4}} & (x, y) \neq (0, 0) \end{matrix}

ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in

(0, 0)

la funzione non sia continua impedisce la sua differenziabilità in

(0, 0)

. Tuttavia, se

F

è di classe

C^{1}

in un intorno di

𝐱_{0}

, cioè se esistono tutte le derivate parziali di

F

e queste sono funzioni continue, allora

F

è differenziabile in

𝐱_{0}

. Vale quindi, se

Ω \subseteq ℝ^{n}

è aperto, che

F \in C^{1} (Ω)

implica la differenziabilità in

Ω

che implica a sua volta che

F \in C^{0} (Ω)

.

Approssimazioni

Da un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una trasformazione affine quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima $F$ in un intorno di $𝐱_{0}$ è la funzione:

𝐱 \mapsto F (𝐱_{0}) + D F (𝐱_{0}) (𝐱 - 𝐱_{0}) .

Per verificarlo, si consideri un intorno di $𝐱_{0}$ di raggio $δ$ .

Se si effettua uno zoom sul grafico di $F$ in modo che l'intorno ci appaia di raggio $1$ , la distanza che si vede tra la funzione $F$ e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto $𝐱 = 𝐱_{0} + 𝐡$ è uguale a:

\frac{F (𝐱_{0} + 𝐡) - F (𝐱_{0}) - D F (𝐱_{0}) 𝐡}{δ},

dove la divisione per $δ$ corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che si sta operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che si vede nell'intorno riscalato è:

sup_{‖ 𝐡 ‖ \leq δ} \frac{F (𝐱_{0} + 𝐡) - F (𝐱_{0}) - D F (𝐱_{0}) 𝐡}{δ},

ora si può dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di $F$ si deduce che:

lim_{δ \to 0} sup_{‖ 𝐡 ‖ \leq δ} \frac{F (𝐱_{0} + 𝐡) - F (𝐱_{0}) - D F (𝐱_{0}) 𝐡}{δ} = 0,

il che significa che quello che si osserva ingrandendo progressivamente il grafico di $F$ e della sua approssimazione affine intorno a $𝐱_{0}$ è che questi tendono a coincidere. Viceversa, la relazione implica direttamente la differenziabilità di $F$ .

Note

↑ Rudin, p. 213.
↑ Rudin, p. 214.
↑ Rudin, p. 220.
↑ Rudin, p. 212.
↑ Rudin, p. 217.

Bibliografia

Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Due, Napoli, Liguori Editore, 2001, ISBN 9788820731373. (capitolo 2, paragrafo 13)
Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di Analisi Matematica Due, Bologna, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203. (capitolo 3, paragrafo 29)
Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlate

Altri progetti

Wikibooks contiene testi o manuali sulla funzione differenziabile

Collegamenti esterni

funzione derivabile, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) differentiable function, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

(EN) Eric W. Weisstein, Differentiable, su MathWorld, Wolfram Research.

Controllo di autorità	LCCN (EN) sh85037883

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[1] Rudin, p. 213.

[2] Rudin, p. 214.

[3] Rudin, p. 220.

[4] Rudin, p. 212.

[5] Rudin, p. 217.

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