Integrale di volume

In matematica, in particolare nel calcolo in più variabili, un integrale di volume è l'integrale di superficie della funzione costante $f = 1$ , e fornisce il volume della superficie considerata.

Definizione

Si definisce elemento di volume in $ℝ^{k}$ la k-forma:

d 𝐕 = d x_{1} \land d x_{2} \land \dots \land d x_{k} .

Sia $S$ una k-superficie positivamente orientata in $ℝ^{k}$ e $f = 1$ la funzione costante definita sull'immagine di $S$ . Allora:

\int_{S} f (𝐱) d x_{1} \land d x_{2} \land \dots \land d x_{k} = \int_{S} f d 𝐕_{k} .

Sia $D \in ℝ^{k}$ il dominio di parametrizzazione di $S$ e $S : D \to ℝ^{k}$ iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana $J_{S}$ positiva. Allora il volume della superficie è dato da:

\int_{S} d x_{1} \land d x_{2} \land \dots \land d x_{k} = \int_{S} J_{S} (𝐮) d 𝐮 = \int_{S (D)} d 𝐱 .

Volume in tre dimensioni

L'integrale di volume è un integrale triplo della funzione costante 1, che restituisce il volume della regione $D \subseteq ℝ^{3}$ , cioè:

Vol (D) = \underset{D}{∭} d x d y d z .

Con "integrale di volume" si identifica anche l'integrale triplo calcolato nella regione $D$ di una funzione $f (x, y, z),$ ed è generalmente scritto:

\underset{D}{∭} f (x, y, z) d x d y d z .

Un integrale di volume in coordinate cilindriche è:

\underset{D}{∭} f (r, θ, z) r d r d θ d z,

mentre un integrale di volume in coordinate sferiche ha la forma:

\underset{D}{∭} f (r, θ, ϕ) r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ .

Esempio

Integrando la funzione $f (x, y, z) = 1$ su un cubo di spigolo unitario si ottiene il seguente risultato:

∭_{0 0 0}^{1 1 1} 1 d x d y d z = \iint_{0 0}^{1 1} (1 - 0) d y d z = \int_{0}^{1} (1 - 0) d z = 1 - 0 = 1.

Quindi il volume del cubo unitario è 1 come previsto. In realtà, l'integrale di volume permette di risolvere problemi molto più complessi. Per esempio se abbiamo una funzione scalare $f : ℝ^{3} \to ℝ$ che descrive la densità del cubo in un punto assegnato $(x, y, z)$ da $f = x + y + z$ si può calcolare la massa totale del cubo calcolando l'integrale di volume:

∭_{0 0 0}^{1 1 1} (x + y + z) d x d y d z = \iint_{0 0}^{1 1} (\frac{1}{2} + y + z) d y d z = \int_{0}^{1} (1 + z) d z = \frac{3}{2} .

Note

↑ W. Rudin, Pag. 286.

Bibliografia

Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Volume Integral, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] W. Rudin, Pag. 286.

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