Punto isolato
In topologia generale, un punto isolato per un insieme è un punto che non ha altri punti di "vicini".
Definizione
Un punto appartenente ad un sottoinsieme in uno spazio topologico è un punto isolato di se esiste un intorno di non contenente altri punti di .
Spazio metrico o euclideo
In particolare, in uno spazio euclideo (o in uno spazio metrico), è un punto isolato di se esiste una palla aperta centrata in che non contiene nessun elemento di diverso da .
Definizioni equivalenti
In modo equivalente, un punto di non è un punto isolato se e solo se è un punto di accumulazione per .
Insieme discreto
Un insieme costituito esclusivamente di punti isolati è detto insieme discreto.
Ogni insieme finito in uno spazio metrico è discreto. Il viceversa è vero se lo spazio metrico è compatto e è chiuso: in uno spazio compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto è finito.
Un sottoinsieme discreto in uno spazio non compatto può non essere finito, ma generalmente è numerabile: questo accade ad esempio nello spazio euclideo. D'altra parte, non è vero che ogni sottoinsieme numerabile dello spazio euclideo è discreto: ad esempio l'insieme dei numeri razionali è numerabile ma non discreto.
Insieme perfetto
Un insieme chiuso senza punti isolati, costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.
Esempi
Ogni elemento di è isolato in infatti:
Sia e sia un intorno di e di raggio .
Allora dalla definizione abbiamo che è un punto isolato in .
Poiché per risulta che , deduciamo che è isolato.
Gli spazi topologici dei seguenti esempi sono da considerare sottospazi della retta reale.
- Per l'insieme , il punto è un punto isolato.
- Per l'insieme , ciascun punto è un punto isolato, tranne il punto che non lo è perché esistono altri punti appartenenti all'insieme vicini a quanto desiderato.
- L'insieme dei numeri naturali è un insieme discreto.
- L'insieme chiuso è un insieme perfetto.
