Spazio separabile

In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio separabile è uno spazio topologico che contiene un sottoinsieme numerabile e denso.

Gli spazi usati generalmente in analisi matematica e in geometria sono separabili: ad esempio la retta reale è separabile, perché contiene i numeri razionali, che sono un sottoinsieme denso e numerabile.

Allo stesso modo in cui i numeri reali possono essere approssimati, con la precisione desiderata, con numeri razionali, così uno spazio separabile possiede sottoinsiemi numerabili, tramite i quali ci si può avvicinare quanto si vuole a ogni suo elemento, nel senso di limite matematico.

Definizione

Uno spazio topologico $X$ è detto separabile se esiste un sottoinsieme numerabile e denso in $X$ , cioè:

$\overline{{x_{n} \in X, n = 1, 2, \dots}} = X$ .

Esempi

Uno spazio discreto è separabile se e solo se è numerabile.
I numeri reali $ℝ$ con l'usuale topologia formano uno spazio separabile: l'insieme $ℚ$ dei numeri razionali è un sottoinsieme denso e numerabile. Più in generale, uno spazio euclideo $ℝ^{n}$ è separabile, perché contiene l'insieme $ℚ^{n}$ denso e numerabile.
Lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo $[0, 1]$ con la metrica della convergenza uniforme è separabile: i polinomi a coefficienti razionali formano un sottoinsieme denso e numerabile (teorema di approssimazione di Weierstrass).
Uno spazio di Hilbert è separabile se e solo se ha una base ortonormale numerabile.

Proprietà

L'immagine di uno spazio separabile tramite una funzione continua è separabile. Quindi lo spazio quoziente di uno spazio separabile è separabile.
Il prodotto di una quantità numerabile di spazi separabili è separabile.
Un sottospazio di uno spazio separabile può non essere separabile. Infatti ogni spazio non separabile è contenuto in uno separabile: è sufficiente aggiungere allo spazio non separabile un punto, e imporre che la chiusura di questo sia tutto lo spazio.
D'altra parte, ogni sottospazio aperto di uno spazio separabile è separabile e ogni sottospazio di uno spazio metrico separabile è separabile.
La cardinalità di uno spazio di Hausdorff separabile è al più $2^{C}$ , dove $C = card (ℝ)$ .
L'insieme di tutte le funzioni continue a valori in $ℝ$ su uno spazio separabile ha cardinalità al più $C$ .

Note

↑ H. Brezis, p. 72.
↑ Fabio Ortolani, Appunti di Metodi Matematici, University of Bologna, p. 138.
↑ Any subspace of a separable metric space is separable | alanmath, su alanmath.wordpress.com.

Bibliografia

Haïm Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Napoli, Liguori, 1990, ISBN 88-207-1501-5.

Voci correlate

Assioma di separazione

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Separable Space, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] H. Brezis, p. 72.

[2] Fabio Ortolani, Appunti di Metodi Matematici, University of Bologna, p. 138.

[3] Any subspace of a separable metric space is separable | alanmath, su alanmath.wordpress.com.