Insieme denso

In matematica, un sottoinsieme di uno spazio topologico è denso nello spazio topologico se ogni elemento dello spazio appartiene all'insieme o ne è un punto di accumulazione.

Nel caso di un insieme di numeri reali, ad esempio, per ogni coppia di numeri distinti vi è sempre un elemento dell'insieme compreso tra i due. I numeri razionali e i numeri irrazionali sono due insiemi densi, mentre i numeri interi non lo sono.

Definizione

Sia uno spazio topologico. Un sottoinsieme di è denso in se l'unico sottoinsieme chiuso di contenente è stesso, ovvero la chiusura di è .

Le seguenti definizioni sono inoltre equivalenti a quella data. è denso in se e solo se:

• Ogni sottoinsieme aperto non vuoto di interseca .
• Il complementare di ha parte interna vuota.
• Ogni punto di o appartiene ad o è un punto di accumulazione per .

Esempi

• Ogni spazio topologico è denso in sé stesso; tutti gli altri chiusi di e tutti i sottoinsiemi di essi non sono densi in .
• Lo spazio dei numeri reali con l'usuale topologia euclidea ha gli insiemi dei numeri razionali, dei numeri irrazionali, dei numeri algebrici, dei numeri trascendenti e il complementare dell'insieme di Cantor come sottoinsiemi densi.
• Se e è denso in , allora anche è denso in .
• Se un sottoinsieme è denso in una topologia, allora è denso anche in ogni topologia meno fine.
• Il complementare di un insieme mai denso è denso.
• Nel piano, una superficie senza bordo è densa nell'insieme formato dalla stessa superficie con bordo.
• Teorema di approssimazione di Weierstrass: i polinomi sono densi nell'insieme delle funzioni continue sull'intervallo , dotato della distanza

• Uno spazio metrico è denso nel suo completamento

Note

Bibliografia

• Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate

• spazio separabile, uno spazio con un sottoinsieme denso numerabile
• ordine denso, la nozione di "densità" in teoria degli ordini
• insieme mai denso, un insieme che non è denso in alcun aperto

Altri progetti

Collegamenti esterni

• denso, insieme, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• (EN) Eric W. Weisstein, Dense, su MathWorld, Wolfram Research.

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