Numero p-adico

Video divulgativo sui numeri p-adici.

In teoria dei numeri, dato un numero primo $p$ , i numeri $p$ -adici $ℚ_{p}$ costituiscono un'estensione alternativa dei numeri razionali $ℚ$ distinta da quella dei numeri reali $ℝ$ , pur condividendo con essi alcune proprietà comuni. I numeri $p$ -adici possono essere rappresentati come una sequenza di infinite cifre, simile alla rappresentazione dei numeri decimali (anch'essi eventualmente formati da infinite cifre), dove tuttavia le cifre sono espresse in base $p$ anziché in base 10 e si estendono verso sinistra piuttosto che verso destra.

Mentre in base $p$ gli esponenti sono crescenti verso sinistra, nei numeri $p$ -adici la metrica è invertita rispetto alle potenze, poiché un numero è "piccolo" se divisibile per un'elevata potenza $p^{k}$ .

Nei numeri interi positivi la rappresentazione $p$ -adica è identica a quella in base $p$ , ad esempio

n = 13 = 2 \cdot 5^{1} + 3 \cdot 5^{0} = (23)_{5}

in base 5, ed infatti in notazione $p$ -adica corrisponde a $(\dots 000000023)_{5}$ . Nel caso di interi negativi i numeri $p$ -adici non fanno alcun uso del segno meno, bensì si costruisce un numero $- n$ composto da una sequenza infinita di cifre verso sinistra tale per cui $n + (- n)$ dia luogo a una serie infinita di zeri ossia al numero $(\dots 000000)$ attraverso una catena non terminante di riporti sempre maggiori.

Infine, mentre nei reali una frazione ridotta ai minimi termini ha uno sviluppo periodico verso destra, nei numeri $p$ -adici lo sviluppo periodico si svolge a sinistra.

Si confronti lo sviluppo del numero razionale $\frac{1}{5}$ in base 3 con lo sviluppo 3-adico:

\begin{matrix} \frac{1}{5} & = 0, \overline{0121} (base 3) & = 0 \cdot 3^{0} + 0 \cdot 3^{- 1} + 1 \cdot 3^{- 2} + 2 \cdot 3^{- 3} + \dots \\ \frac{1}{5} & = \overline{1210} 2 (3-adico) & = \dots + 2 \cdot 3^{3} + 1 \cdot 3^{2} + 0 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{0} . \end{matrix}

Formalmente, dato un numero primo $p$ , un numero $p$ -adico può essere definito come una serie

s = \sum_{i = k}^{\infty} a_{i} p^{i} = a_{k} p^{k} + a_{k + 1} p^{k + 1} + a_{k + 2} p^{k + 2} + \dots

dove $k$ è un numero intero (eventualmente negativo) e ciascun $a_{i}$ è un intero tale che $0 \leq a_{i} < p .$ Un intero $p$ -adico è un numero $p$ -adico tale che $k \geq 0.$

In generale, la serie che rappresenta un numero $p$ -adico non è convergente nel senso usuale, ma è convergente rispetto al valore assoluto $p$ -adico $| s |_{p} = p^{- k},$ dove $k$ è il più piccolo intero $i$ tale che $a_{i} \neq 0$ (se tutti gli $a_{i}$ sono nulli, si ha il numero $p$ -adico zero, il cui valore assoluto $p$ -adico è 0).

Ogni numero razionale può essere espresso in modo unico come somma di una serie come mostrato sopra, rispetto al valore assoluto $p$ -adico. Ciò permette di considerare i numeri razionali come particolari numeri $p$ -adici e, in alternativa, di definire i numeri $p$ -adici come il completamento dei numeri razionali rispetto al valore assoluto $p$ -adico, esattamente come i numeri reali sono il completamento dei razionali rispetto al valore assoluto usuale.

I numeri $p$ -adici furono descritti per la prima volta da Kurt Hensel nel 1897, sebbene, a posteriori, alcuni lavori precedenti di Ernst Kummer possano essere interpretati come un uso implicito dei numeri $p$ -adici.

Per ogni numero primo $p$ , i numeri $p$ -adici formano un campo. La definizione dei numeri $p$ -adici può essere generalizzata al caso in cui $p$ non sia primo. Tuttavia, quando $p$ è una potenza di un primo $q$ , questi numeri $p$ -adici generalizzati possono essere identificati con i numeri $q$ -adici. Negli altri casi, i numeri $p$ -adici generalizzati non formano un campo. Per questo motivo, tali numeri $p$ -adici generalizzati si incontrano raramente in letteratura.

Motivazione

L'aritmetica modulare rispetto un dato intero positivo $n$ considera equivalente ogni intero con il resto della sua divisione per $n$ , detto residuo modulo $n$ . La proprietà fondamentale dell'aritmetica modulare è che il residuo modulo $n$ del risultato di una successione di operazioni sugli interi coincide con il risultato della stessa successione di operazioni eseguite sui residui modulo $n$ .

Nello studio delle equazioni diofantee è talvolta utile ridurre l'equazione modulo un primo $p$ , poiché questo fornisce di solito informazioni sull'equazione stessa. Purtroppo, così facendo si perde parte dell'informazione, perché la riduzione $ℤ ↠ ℤ / p ℤ$ non è iniettiva.

Un modo per conservare più informazione consiste nell'usare moduli più grandi, come potenze più alte del primo: $p^{2}$ , $p^{3}$ , ... Questo ha però lo svantaggio che $ℤ / p^{e} ℤ$ non è un campo, il che comporta la perdita di molte delle proprietà algebriche di $ℤ / p ℤ$ .

Kurt Hensel scoprì un metodo che consiste nell'usare un modulo primo $p$ e nell'applicare il lemma di Hensel per "sollevare" le soluzioni modulo $p$ a soluzioni modulo $p^{2}$ , $p^{3}$ , ... Questo procedimento produce una successione infinita di residui, e un numero $p$ -adico viene definito come il "limite" di tale successione.

In sostanza, i numeri $p$ -adici permettono di "lavorare modulo $p^{e}$ per tutti gli e contemporaneamente". Una caratteristica che distingue i numeri $p$ -adici dall'aritmetica modulare ordinaria è che l'insieme $ℚ_{p}$ dei numeri $p$ -adici forma un campo, rendendo possibile la divisione per $p$ (a differenza di quanto accade lavorando modulo $p^{e}$ ). Inoltre, l'applicazione $ℤ ↪ ℤ_{p}$ è iniettiva, quindi passando ai numeri $p$ -adici non si perde molta informazione.

Descrizione informale

Esistono diversi modi di intendere i numeri $p$ -adici.

Come sviluppo in base p

Un modo di pensare agli interi $p$ -adici è quello di usare la "base $p$ ". Per esempio, ogni intero può essere scritto in base $p$ :

5 0_{10} = 121 2_{3} = 1 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} + 1 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{0} .

Informalmente, gli interi $p$ -adici possono essere pensati come interi in base $p$ le cui cifre si estendono all'infinito verso sinistra (Chen, cap. 27).

\dots 12101210 2_{3} = \dots + 2 \cdot 3^{3} + 1 \cdot 3^{2} + 0 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{0} .

L'addizione e la moltiplicazione degli interi $p$ -adici possono essere eseguite in modo analogo a quanto si fa con gli interi in base $p$ (Koç 2002).

Quando si sommano due interi $p$ -adici (per esempio $\dots 01210 2_{3} + \dots 10121 1_{3}$ ), le cifre vengono sommate propagando i riporti da destra verso sinistra.

$\begin{matrix} _{1} & _{1} & _{1} \\ \dots & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 2_{3} \\ + & \dots & 1 & 0 & 1 & 2 & 1 & 1_{3} \\ \dots & 1 & 2 & 1 & 0 & 2 & 0_{3} \end{matrix}$

La moltiplicazione degli interi $p$ -adici funziona in modo simile, tramite l'algoritmo di moltiplicazione in colonna. Poiché addizione e moltiplicazione possono essere eseguite sugli interi $p$ -adici, questi formano un anello, indicato con $ℤ_{p}$ o $𝐙_{p}$ .

Si noti che alcuni numeri razionali possono essere interi $p$ -adici pur non essendo interi nel senso usuale. Per esempio, il numero razionale $\frac{1}{5}$ è un intero 3-adico, con sviluppo 3-adico $\frac{1}{5} = \overline{1210} 2_{3}$ . Tuttavia, alcuni numeri razionali, come $\frac{1}{p}$ , non possono essere scritti come interi $p$ -adici. Per questo motivo, gli interi $p$ -adici vengono ulteriormente generalizzati ai numeri $p$ -adici.

I numeri $p$ -adici possono essere pensati come interi $p$ -adici con un numero finito di cifre dopo la virgola. Un esempio di numero 3-adico è

\dots 121012, 10 2_{3} = \dots + 1 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{0} + 1 \cdot 3^{- 1} + 0 \cdot 3^{- 2} + 2 \cdot 3^{- 3} .

In modo equivalente, ogni numero $p$ -adico è della forma $\frac{x}{p^{k}}$ , dove $x$ è un intero $p$ -adico.

Per ogni numero $p$ -adico $x$ non nullo, il suo inverso moltiplicativo $\frac{1}{x}$ è ancora un numero $p$ -adico, che può essere calcolato con una variante della divisione in colonna. Per questo motivo i numeri $p$ -adici formano un campo, indicato con $ℚ_{p}$ o $𝐐_{p}$ .

Come successione di residui modulo p^k

Un altro modo di definire gli interi $p$ -adici consiste nel rappresentarli come successioni di residui $x_{e} \mod p^{e}$ , uno per ogni intero $e$ . Qui ciascun $x_{i}$ indica un intero rappresentante di una classe di resto modulo $p^{i}$ :

x = (x_{1} \mod p, x_{2} \mod p^{2}, x_{3} \mod p^{3}, \dots)

che soddisfano le relazioni di compatibilità $x_{i} \equiv x_{j} (\mod p^{i})$ per $i < j$ . In questa notazione, addizione e moltiplicazione degli interi $p$ -adici sono definite componente per componente:

x + y = (x_{1} + y_{1} \mod p, x_{2} + y_{2} \mod p^{2}, x_{3} + y_{3} \mod p^{3}, \dots);

x \cdot y = (x_{1} \cdot y_{1} \mod p, x_{2} \cdot y_{2} \mod p^{2}, x_{3} \cdot y_{3} \mod p^{3}, \dots) .

Questa definizione è equivalente a quella in base $p$ , perché le ultime $k$ cifre di uno sviluppo in base $p$ determinano univocamente il suo valore modulo $p^{k}$ , e viceversa.

Questa forma permette anche di spiegare perché alcuni numeri razionali sono interi $p$ -adici pur non essendo interi. Per esempio, $\frac{1}{5}$ è un intero 3-adico perché il suo sviluppo 3-adico è costituito dagli inversi moltiplicativi di 5 modulo 3, 3², 3³, ...

\begin{matrix} \frac{1}{5} & = (\frac{1}{5} \mod 3, \frac{1}{5} \mod 3^{2}, \frac{1}{5} \mod 3^{3}, \frac{1}{5} \mod 3^{4}, \dots) \\ = (2 \mod 3, 2 \mod 3^{2}, 11 \mod 3^{3}, 65 \mod 3^{4}, \dots) \end{matrix}

Definizione

Esistono diverse definizioni equivalenti dei numeri $p$ -adici. I due approcci presentati di seguito sono relativamente elementari.

Come serie formali in base p

Un intero $p$ -adico viene spesso definito come una serie formale di potenze della forma

r = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} p^{i} = a_{0} + a_{1} p + a_{2} p^{2} + a_{3} p^{3} + \dots

dove ciascun $a_{i} \in {0, 1, \dots, p - 1}$ rappresenta una "cifra in base $p$ ".

Un'unità $p$ -adica è un intero $p$ -adico la cui prima cifra è diversa da zero, cioè $a_{0} \neq 0$ . L'insieme di tutti gli interi $p$ -adici è solitamente indicato con $ℤ_{p}$ .

Un numero $p$ -adico viene quindi definito come una serie di Laurent formale della forma

r = \sum_{i = v}^{\infty} a_{i} p^{i} = a_{v} p^{v} + a_{v + 1} p^{v + 1} + a_{v + 2} p^{v + 2} + a_{v + 3} p^{v + 3} + \dots

dove $v$ è un intero (eventualmente negativo) e ciascun $a_{i} \in {0, 1, \dots, p - 1}$ . In modo equivalente, un numero $p$ -adico è un qualunque oggetto della forma $\frac{x}{p^{k}}$ , dove $x$ è un intero $p$ -adico.

Il primo indice $v$ per cui la cifra $a_{v}$ di $r$ è diversa da zero si chiama valutazione $p$ -adica di $r$ e si indica con $v_{p} (r)$ . Se $r = 0$ , un tale indice non esiste e per convenzione si pone $v_{p} (0) = \infty$ .

In questa definizione, addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione dei numeri $p$ -adici si eseguono in modo simile a quanto si fa con i numeri in base $p$ , con "riporti" e "prestiti" che si spostano da sinistra verso destra anziché da destra verso sinistra. Come esempio in $ℚ_{3}$ :

$\begin{matrix} _{1} & _{1} & _{1} \\ 2 \cdot 3^{0} & + & 0 \cdot 3^{1} & + & 1 \cdot 3^{2} & + & 2 \cdot 3^{3} & + & 1 \cdot 3^{4} & + \dots \\ + & 1 \cdot 3^{0} & + & 1 \cdot 3^{1} & + & 2 \cdot 3^{2} & + & 1 \cdot 3^{3} & + & 0 \cdot 3^{4} & + \dots \\ 0 \cdot 3^{0} & + & 2 \cdot 3^{1} & + & 0 \cdot 3^{2} & + & 1 \cdot 3^{3} & + & 2 \cdot 3^{4} & + \dots \end{matrix}$

Anche la divisione dei numeri $p$ -adici può essere eseguita "formalmente", tramite la divisione delle serie formali di potenze, prestando attenzione alla gestione dei riporti.

Con queste operazioni, l'insieme dei numeri $p$ -adici forma un campo, indicato con $ℚ_{p}$ .

Come classi di equivalenza

I numeri $p$ -adici possono essere definiti anche come classi di equivalenza, in modo simile alla definizione dei numeri reali come classi di equivalenza di successioni di Cauchy. Questa definizione si basa essenzialmente sul seguente lemma:

Ogni numero razionale $r$ non nullo può essere scritto come $r = p^{v} \frac{m}{n},$ dove $v$ , $m$ e $n$ sono interi e né $m$ né $n$ sono divisibili per $p$ .

L'esponente $v$ è univocamente determinato da $r$ e si chiama valutazione $p$ -adica di $r$ , indicata con $v_{p} (r)$ . La dimostrazione del lemma discende direttamente dal teorema fondamentale dell'aritmetica.

Una serie $p$ -adica è una serie di Laurent formale della forma

\sum_{i = v}^{\infty} r_{i} p^{i},

dove $v$ è un intero (eventualmente negativo) e gli $r_{i}$ sono numeri razionali che o sono nulli o hanno valutazione non negativa (cioè il denominatore di $r_{i}$ non è divisibile per $p$ ).

Ogni numero razionale può essere visto come una serie $p$ -adica con un solo termine non nullo, costituito dalla sua fattorizzazione nella forma $p^{k} \frac{m}{n},$ con $m$ e $n$ entrambi coprimi con $p$ .

Due serie $p$ -adiche $\sum_{i = v}^{\infty} r_{i} p^{i}$ e $\sum_{i = w}^{\infty} s_{i} p^{i}$ si dicono equivalenti se esiste un intero $N$ tale che, per ogni intero $n > N,$ il numero razionale

\sum_{i = v}^{n} r_{i} p^{i} - \sum_{i = w}^{n} s_{i} p^{i}

è nullo oppure ha valutazione $p$ -adica maggiore di $n$ .

Una serie $p$ -adica $\sum_{i = v}^{\infty} a_{i} p^{i}$ si dice normalizzata se tutti gli $a_{i}$ sono interi tali che $0 \leq a_{i} < p$ e $a_{v} > 0,$ oppure se tutti gli $a_{i}$ sono nulli. In quest'ultimo caso la serie si chiama serie nulla.

Ogni serie $p$ -adica è equivalente a esattamente una serie normalizzata. Tale serie normalizzata si ottiene mediante una successione di trasformazioni, ciascuna delle quali è un'equivalenza di serie; si veda la sezione sulla normalizzazione più avanti.

In altre parole, l'equivalenza di serie $p$ -adiche è una relazione di equivalenza, e ogni classe di equivalenza contiene esattamente una serie $p$ -adica normalizzata.

Le usuali operazioni sulle serie (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) sono compatibili con l'equivalenza delle serie $p$ -adiche. Cioè, indicando l'equivalenza con $\sim$ , se $S$ , $T$ e $U$ sono serie $p$ -adiche non nulle tali che $S \sim T,$ si ha

\begin{matrix} S \pm U & \sim T \pm U, \\ S U & \sim T U, \\ 1 / S & \sim 1 / T . \end{matrix}

Con ciò, i numeri $p$ -adici sono definiti come le classi di equivalenza delle serie $p$ -adiche.

La proprietà di unicità della normalizzazione permette di rappresentare in modo univoco ogni numero $p$ -adico mediante la corrispondente serie $p$ -adica normalizzata. La compatibilità dell'equivalenza di serie porta quasi immediatamente alle proprietà fondamentali dei numeri $p$ -adici:

l'addizione, la moltiplicazione e l'inverso moltiplicativo dei numeri $p$ -adici sono definiti come per le serie formali di potenze, seguiti dalla normalizzazione del risultato;
con queste operazioni, i numeri $p$ -adici formano un campo, che è un'estensione del campo dei numeri razionali;
la valutazione di un numero $p$ -adico $x$ non nullo, indicata comunemente con $v_{p} (x)$ , è l'esponente di $p$ nel primo termine non nullo della corrispondente serie normalizzata; la valutazione di zero è $v_{p} (0) = + \infty$ ;
il valore assoluto $p$ -adico di un numero $p$ -adico $x$ non nullo è $| x |_{p} = p^{- v (x)};$ per il numero $p$ -adico zero si ha $| 0 |_{p} = 0.$

Normalizzazione di una serie p-adica

A partire dalla serie $\sum_{i = v}^{\infty} r_{i} p^{i},$ si vuole ottenere una serie equivalente tale che la valutazione $p$ -adica di $r_{v}$ sia zero. A questo scopo si considera il primo $r_{i}$ non nullo. Se la sua valutazione $p$ -adica è zero, basta sostituire $v$ con $i$ , cioè far partire la somma da $i$ . Altrimenti la valutazione $p$ -adica di $r_{i}$ è $j > 0,$ e $r_{i} = p^{j} s_{i}$ con $s_{i}$ di valutazione zero; si ottiene allora una serie equivalente sostituendo $r_{i}$ con 0 e $r_{i + j}$ con $r_{i + j} + s_{i} .$ Iterando questo procedimento si ottiene infine, eventualmente dopo infiniti passi, una serie equivalente che o è la serie nulla o è una serie in cui la valutazione di $r_{v}$ è zero.

Se poi la serie non è normalizzata, si considera il primo $r_{i}$ non nullo che non sia un intero nell'intervallo $[0, p - 1] .$ Usando l'identità di Bézout, lo si scrive come $r_{i} = a_{i} + p s_{i}$ , con $a_{i} \in [0, p - 1]$ e $s_{i}$ di valutazione non negativa. Si ottiene allora una serie equivalente sostituendo $r_{i}$ con $a_{i}$ e sommando $s_{i}$ a $r_{i + 1} .$ Iterando questo procedimento, eventualmente infinite volte, si ottiene infine la serie $p$ -adica normalizzata cercata.

Altre definizioni equivalenti

Altre definizioni equivalenti fanno uso del completamento di un anello di valutazione discreta (si veda la sezione Interi $p$ -adici), del completamento di uno spazio metrico (si veda la sezione Proprietà topologiche) o dei limiti inversi (si veda la sezione Proprietà modulari).

Un numero $p$ -adico può essere definito come una serie $p$ -adica normalizzata. Poiché esistono altre definizioni equivalenti di uso comune, si dice spesso che una serie $p$ -adica normalizzata "rappresenta" un numero $p$ -adico, anziché dire che "è" un numero $p$ -adico.

Si può anche dire che ogni serie $p$ -adica rappresenta un numero $p$ -adico, poiché ogni serie $p$ -adica è equivalente a un'unica serie $p$ -adica normalizzata. Ciò è utile per definire le operazioni (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) sui numeri $p$ -adici: il risultato di tale operazione si ottiene normalizzando il risultato della corrispondente operazione sulle serie. Questo definisce correttamente le operazioni sui numeri $p$ -adici, dato che le operazioni sulle serie sono compatibili con l'equivalenza delle serie $p$ -adiche.

Con queste operazioni i numeri $p$ -adici formano un campo, detto campo dei numeri $p$ -adici e indicato con $ℚ_{p}$ o $𝐐_{p} .$ Esiste un unico omomorfismo di campi dai numeri razionali ai numeri $p$ -adici, che associa a ogni numero razionale il suo sviluppo $p$ -adico. L'immagine di questo omomorfismo viene comunemente identificata con il campo dei numeri razionali. Ciò permette di considerare i numeri $p$ -adici come un'estensione del campo dei numeri razionali, e i numeri razionali come un sottocampo dei numeri $p$ -adici.

La valutazione di un numero $p$ -adico $x$ non nullo, indicata comunemente con $v_{p} (x),$ è l'esponente di $p$ nel primo termine non nullo di ogni serie $p$ -adica che rappresenta $x$ . Per convenzione $v_{p} (0) = \infty;$ cioè la valutazione di zero è $\infty .$ Questa valutazione è una valutazione discreta. La restrizione di questa valutazione ai numeri razionali è la valutazione $p$ -adica di $ℚ,$ cioè l'esponente $v$ nella fattorizzazione di un numero razionale come $\frac{n}{d} p^{v},$ con $n$ e $d$ entrambi coprimi con $p$ .

Notazione

Esistono diverse convenzioni per scrivere gli sviluppi $p$ -adici. Finora in questa voce si è usata una notazione in cui le potenze di $p$ crescono da destra verso sinistra. Con questa notazione da destra a sinistra, lo sviluppo 3-adico di $\frac{1}{5},$ per esempio, si scrive

\frac{1}{5} = \dots 12101210 2_{3} .

Eseguendo i calcoli in questa notazione, i riporti si spostano verso sinistra. È anche possibile scrivere gli sviluppi $p$ -adici in modo che le potenze di $p$ crescano da sinistra verso destra, con i riporti che si spostano verso destra. Con questa notazione da sinistra a destra, lo sviluppo 3-adico di $\frac{1}{5}$ è

\frac{1}{5} = 2, 01210121 \dots_{3} oppure \frac{1}{15} = 20, 1210121 \dots_{3} .

Gli sviluppi $p$ -adici possono essere scritti anche con altri insiemi di cifre al posto di ${0, 1, \dots, p - 1}$ . Per esempio, lo sviluppo 3-adico di $\frac{1}{5}$ può essere scritto usando le cifre del sistema ternario bilanciato {1, 0, 1}, dove 1 rappresenta meno uno, come

\frac{1}{5} = \dots \underline{1} 11 \underline{11} 11 \underline{11} 11 {\underline{1}}_{3} .

In effetti, come cifre $p$ -adiche si può usare un qualunque insieme di $p$ interi appartenenti a classi di resto distinte modulo $p$ . In teoria dei numeri si usano talvolta come cifre i rappresentanti di Teichmüller.

La "notazione con apice" (quote notation) è una variante della rappresentazione $p$ -adica dei numeri razionali, proposta nel 1979 da Eric Hehner e Nigel Horspool per implementare al calcolatore l'aritmetica (esatta) con questi numeri. Può essere usata come modo compatto di rappresentare i numeri razionali, che hanno una successione infinita e periodica di cifre. In questa notazione un apice ' separa la parte periodica da quella non periodica:

\frac{1}{5} = 1210^{'} 2_{3} .

Sviluppo p-adico dei numeri razionali

Lo sviluppo decimale di un numero razionale positivo $r$ è la sua rappresentazione come serie

r = \sum_{i = k}^{\infty} a_{i} 1 0^{- i},

dove $k$ è un intero e ciascun $a_{i}$ è anch'esso un intero tale che $0 \leq a_{i} < 10.$ Questo sviluppo può essere calcolato mediante la divisione in colonna del numeratore per il denominatore, che a sua volta si basa sul seguente teorema: se $r = \frac{n}{d}$ è un numero razionale tale che $0 \leq r < 1,$ esiste un intero $a$ tale che $0 \leq a < 10$ e $10 r = a + r^{'},$ con $0 \leq r^{'} < 1.$ Lo sviluppo decimale si ottiene applicando ripetutamente questo risultato al resto $r^{'}$ , che a ogni iterazione assume il ruolo del numero razionale di partenza $r$ .

Lo sviluppo $p$ -adico di un numero razionale può essere calcolato in modo analogo, ma con un diverso passo di divisione. Si supponga che $r = \frac{n}{d}$ sia un numero razionale con valutazione non negativa (cioè $d$ non è divisibile per $p$ ). Il passo di divisione consiste nello scrivere

$r = a + p r^{'}$

dove $a$ è un intero tale che $0 \leq a < p$ e $r^{'}$ ha valutazione non negativa.

L'intero $a$ può essere calcolato come inverso modulare: $a = n d^{- 1} \mod p$ . Per questo motivo una tale scrittura di $r$ è sempre possibile, ed è unica.

Lo sviluppo $p$ -adico di un numero razionale è definitivamente periodico. Viceversa, una serie $\sum_{i = k}^{\infty} a_{i} p^{i},$ con $0 \leq a_{i} < p$ , converge (rispetto al valore assoluto $p$ -adico) a un numero razionale se e solo se è definitivamente periodica; in tal caso la serie è lo sviluppo $p$ -adico di quel numero razionale. La dimostrazione è simile a quella dell'analogo risultato per i numeri decimali periodici.

Esempio

Calcoliamo lo sviluppo 5-adico di $\frac{1}{3} .$ Possiamo scrivere questo numero come $\frac{1}{3} = 2 + 5 \cdot \frac{- 1}{3}$ . Al primo passo usiamo quindi $a = 2$ , ottenendo

\frac{1}{3} = 2 + 5^{1} \cdot (\frac{- 1}{3}) .

Al passo successivo possiamo scrivere il "resto" $\frac{- 1}{3}$ come $\frac{- 1}{3} = 3 + 5 \cdot \frac{- 2}{3}$ . Usiamo quindi $a = 3$ .

\frac{1}{3} = 2 + 3 \cdot 5^{1} + 5^{2} \cdot (\frac{- 2}{3})

Possiamo scrivere il "resto" $\frac{- 2}{3}$ come $\frac{- 2}{3} = 1 + 5 \cdot \frac{- 1}{3} .$ Usiamo quindi $a = 1$ e otteniamo

\frac{1}{3} = 2 + 3 \cdot 5^{1} + 1 \cdot 5^{2} + 5^{3} \cdot (\frac{- 1}{3}) .

Si noti che si è ottenuto di nuovo il "resto" $\frac{- 1}{3}$ , il che significa che da questo punto in poi le cifre non possono che ripetersi.

\frac{1}{3} = 2 + 3 \cdot 5^{1} + 1 \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5^{3} + 1 \cdot 5^{4} + 3 \cdot 5^{5} + 1 \cdot 5^{6} + \dots .

Nella notazione 5-adica standard si può scrivere

\frac{1}{3} = \dots 131313 2_{5}

con i puntini $\dots$ a sinistra.

Interi p-adici

Gli interi $p$ -adici sono i numeri $p$ -adici con valutazione non negativa.

Un intero $p$ -adico può essere rappresentato come una successione

x = (x_{1} \mod p, x_{2} \mod p^{2}, x_{3} \mod p^{3}, \dots)

di residui $x_{e}$ modulo $p^{e}$ , uno per ogni intero $e$ , che soddisfano le relazioni di compatibilità $x_{i} \equiv x_{j} (\mod p^{i})$ per $i < j$ .

Ogni numero intero è un intero $p$ -adico (zero compreso, dato che $0 < \infty$ ). Anche i numeri razionali della forma $\frac{n}{d} p^{k}$ con $d$ coprimo con $p$ e $k \geq 0$ sono interi $p$ -adici (perché $d$ ammette un inverso modulo $p^{e}$ per ogni $e$ ).

Gli interi $p$ -adici formano un anello commutativo, indicato con $ℤ_{p}$ o $𝐙_{p}$ , che gode delle seguenti proprietà:

è un dominio d'integrità, poiché è un sottoanello di un campo, oppure perché il primo termine della serie che rappresenta il prodotto di due serie $p$ -adiche non nulle è il prodotto dei loro primi termini;
le unità (elementi invertibili) di $ℤ_{p}$ sono i numeri $p$ -adici di valutazione zero;
è un dominio a ideali principali, in cui ogni ideale è generato da una potenza di $p$ ;
è un anello locale di dimensione di Krull uno, poiché i suoi unici ideali primi sono l'ideale nullo e l'ideale generato da $p$ , che è l'unico ideale massimale;
è un anello di valutazione discreta, come segue dalle proprietà precedenti;
è il completamento dell'anello locale $ℤ_{(p)} = {\frac{n}{d} | n, d \in ℤ, d \in̸ p ℤ},$ che è la localizzazione di $ℤ$ nell'ideale primo $p ℤ .$

L'ultima proprietà fornisce una definizione dei numeri $p$ -adici equivalente alla precedente: il campo dei numeri $p$ -adici è il campo dei quozienti del completamento della localizzazione degli interi nell'ideale primo generato da $p$ .

Proprietà topologiche

La valutazione $p$ -adica permette di definire un valore assoluto sui numeri $p$ -adici: il valore assoluto $p$ -adico di un numero $p$ -adico $x$ non nullo è

| x |_{p} = p^{- v_{p} (x)},

dove $v_{p} (x)$ è la valutazione $p$ -adica di $x$ . Il valore assoluto $p$ -adico di $0$ è $| 0 |_{p} = 0.$ Si tratta di un valore assoluto che soddisfa la disuguaglianza triangolare forte, poiché per ogni $x$ e $y$ :

$| x |_{p} = 0$ se e solo se $x = 0;$
$| x |_{p} \cdot | y |_{p} = | x y |_{p};$
$| x + y |_{p} \leq max {| x |_{p}, | y |_{p}} \leq | x |_{p} + | y |_{p} .$

Inoltre, se $| x |_{p} \neq | y |_{p},$ allora $| x + y |_{p} = max (| x |_{p}, | y |_{p}) .$

Ciò rende i numeri $p$ -adici uno spazio metrico, e anzi uno spazio ultrametrico, con la distanza $p$ -adica definita da $d_{p} (x, y) = | x - y |_{p} .$

Come spazio metrico, i numeri $p$ -adici costituiscono il completamento dei numeri razionali dotati del valore assoluto $p$ -adico. Questo fornisce un'altra possibile definizione dei numeri $p$ -adici.

Poiché la metrica è definita a partire da una valutazione discreta, ogni palla aperta è anche chiusa. Più precisamente, la palla aperta $B_{r} (x) = {y ∣ d_{p} (x, y) < r}$ coincide con la palla chiusa $B_{p^{- v}} [x] = {y ∣ d_{p} (x, y) \leq p^{- v}},$ dove $v$ è il più piccolo intero tale che $p^{- v} < r .$ Analogamente, $B_{r} [x] = B_{p^{- w}} (x),$ dove $w$ è il più grande intero tale che $p^{- w} > r .$

Ne segue che i numeri $p$ -adici $ℚ_{p}$ formano uno spazio localmente compatto (un campo localmente compatto) e che gli interi $p$ -adici $ℤ_{p}$ , cioè la palla $B_{1} [0] = B_{p} (0)$ , formano uno spazio compatto.

Lo spazio degli interi 2-adici $ℤ_{2}$ è omeomorfo all'insieme di Cantor $𝒞$ . Lo si può vedere considerando l'applicazione continua e iniettiva $ψ : ℤ_{2} \to 𝒞$ definita da

ψ : a_{0} + a_{1} 2 + a_{2} 2^{2} + a_{3} 2^{3} + \dots ⟼ \frac{2 a_{0}}{3} + \frac{2 a_{1}}{3^{2}} + \frac{2 a_{2}}{3^{3}} + \frac{2 a_{3}}{3^{4}} + \dots .

Inoltre, per ogni $p$ , $ℤ_{p}$ è omeomorfo a $ℤ_{2}$ , e quindi anch'esso omeomorfo all'insieme di Cantor.

Il duale di Pontryagin del gruppo degli interi $p$ -adici è il gruppo di Prüfer $ℤ (p^{\infty})$ , e il duale di Pontryagin del gruppo di Prüfer è il gruppo degli interi $p$ -adici.

Proprietà modulari

L'anello quoziente $ℤ_{p} / p^{n} ℤ_{p}$ può essere identificato con l'anello $ℤ / p^{n} ℤ$ degli interi modulo $p^{n} .$ Lo si dimostra osservando che ogni intero $p$ -adico, rappresentato dalla sua serie $p$ -adica normalizzata, è congruo modulo $p^{n}$ alla sua somma parziale $\sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} p^{i},$ il cui valore è un intero nell'intervallo $[0, p^{n} - 1] .$ Una verifica diretta mostra che ciò definisce un isomorfismo di anelli da $ℤ_{p} / p^{n} ℤ_{p}$ a $ℤ / p^{n} ℤ .$

Il limite inverso degli anelli $ℤ_{p} / p^{n} ℤ_{p}$ è definito come l'anello formato dalle successioni $a_{0}, a_{1}, \dots$ tali che $a_{i} \in ℤ / p^{i} ℤ$ e $a_{i} \equiv a_{i + 1} (\mod p^{i})$ per ogni $i$ .

L'applicazione che associa a una serie $p$ -adica normalizzata la successione delle sue somme parziali è un isomorfismo di anelli da $ℤ_{p}$ al limite inverso degli anelli $ℤ_{p} / p^{n} ℤ_{p} .$ Questo fornisce un altro modo di definire gli interi $p$ -adici (a meno di isomorfismi).

Questa definizione degli interi $p$ -adici è particolarmente utile per i calcoli pratici, poiché permette di costruire gli interi $p$ -adici per approssimazioni successive.

Per esempio, per calcolare l'inverso (moltiplicativo) $p$ -adico di un intero si può usare il metodo di Newton, partendo dall'inverso modulo $p$ ; ogni passo del metodo calcola quindi l'inverso modulo $p^{2 n}$ a partire dall'inverso modulo $p^{n} .$

Lo stesso metodo può essere usato per calcolare la radice quadrata $p$ -adica di un intero che sia un residuo quadratico modulo $p$ . Questo sembra essere il metodo più veloce conosciuto per verificare se un intero grande è un quadrato: basta verificare se l'intero dato è il quadrato del valore trovato in $ℤ_{p} / p^{n} ℤ_{p}$ . Per applicare il metodo di Newton alla ricerca della radice quadrata occorre che $p^{n}$ sia maggiore del doppio dell'intero dato, condizione che viene soddisfatta rapidamente.

Il sollevamento di Hensel è un metodo simile che permette di "sollevare" la fattorizzazione modulo $p$ di un polinomio a coefficienti interi a una fattorizzazione modulo $p^{n}$ per valori grandi di $n$ . È comunemente usato negli algoritmi di fattorizzazione dei polinomi.

Cardinalità

Sia $ℤ_{p}$ sia $ℚ_{p}$ sono insiemi non numerabili e hanno la potenza del continuo. Per $ℤ_{p}$ ciò discende dalla rappresentazione $p$ -adica, che definisce una biiezione di $ℤ_{p}$ sull'insieme ${0, \dots, p - 1}^{ℕ} .$ Per $ℚ_{p}$ ciò discende dalla sua espressione come unione numerabile di copie di $ℤ_{p}$ :

ℚ_{p} = ⋃_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{p^{i}} ℤ_{p} .

Chiusura algebrica

Il campo $ℚ_{p}$ contiene $ℚ$ ed è un campo di caratteristica 0.

Poiché 0 può essere scritto come somma di quadrati, $ℚ_{p}$ non può essere reso un campo ordinato.

Il campo dei numeri reali $ℝ$ ha un'unica estensione algebrica propria: i numeri complessi $ℂ$ . In altre parole, questa estensione quadratica è già algebricamente chiusa. Al contrario, la chiusura algebrica di $ℚ_{p}$ , indicata con $\overline{ℚ_{p}},$ ha grado infinito, cioè $ℚ_{p}$ ha infinite estensioni algebriche non equivalenti. Sempre a differenza del caso reale, sebbene esista un'unica estensione della valutazione $p$ -adica a $\overline{ℚ_{p}},$ quest'ultimo non è (metricamente) completo.

Il suo completamento (metrico) si indica con $ℂ_{p}$ o $Ω_{p}$ , e talvolta viene chiamato campo dei numeri $p$ -adici complessi, per analogia con i numeri complessi. Il campo $ℂ_{p}$ è algebricamente chiuso. Tuttavia, a differenza di $ℂ$ , questo campo non è localmente compatto.

I campi $ℂ_{p}$ e $ℂ$ sono isomorfi, e sia $ℂ_{p}$ sia $ℂ$ hanno caratteristica zero e la cardinalità del continuo.</ref> quindi $ℂ_{p}$ può essere considerato come $ℂ$ dotato di una metrica "esotica". La dimostrazione dell'esistenza di un tale isomorfismo di campi si basa sull'assioma della scelta e non fornisce un esempio esplicito di isomorfismo (cioè non è costruttiva).

Se $K$ è una qualunque estensione di Galois finita di $ℚ_{p},$ il gruppo di Galois $Gal (K / ℚ_{p})$ è risolubile. Di conseguenza, il gruppo di Galois assoluto $Gal (\overline{ℚ_{p}} / ℚ_{p})$ è prorisolubile.

Gruppo moltiplicativo

Il gruppo delle unità $ℤ_{p}^{\times}$ è contenuto nel gruppo moltiplicativo $ℚ_{p}^{\times} = ℚ_{p} - {0}$ . I due gruppi hanno lo stesso sottogruppo di torsione (il sottogruppo degli elementi di ordine finito). Il lemma di Hensel implica che il sottogruppo di torsione di $ℤ_{p}^{\times}$ si proietta suriettivamente su $𝔽_{p}^{\times}$ . Il nucleo è ${1}$ se $p > 2$ e ${\pm 1}$ se $p = 2$ . In particolare, il sottogruppo di torsione di $ℚ_{p}^{\times}$ è ciclico di ordine $p - 1$ se $p > 2$ , ed è uguale a ${\pm 1}$ se $p = 2$ . Pertanto, per $n > 2,$ il campo $ℚ_{p}$ contiene l' $n$ -esimo campo ciclotomico se e solo se $n$ divide $p - 1.$

Dato un numero naturale $k$ , sia $ℚ_{p}^{\times k}$ il gruppo delle potenze $k$ -esime degli elementi di $ℚ_{p}^{\times}$ ; allora l'indice $[ℚ_{p}^{\times} : ℚ_{p}^{\times k}]$ è finito.

Principio locale-globale

Si dice che il principio locale-globale di Helmut Hasse vale per un'equazione se questa può essere risolta nei numeri razionali se e solo se può essere risolta nei numeri reali e nei numeri $p$ -adici per ogni primo $p$ . Questo principio vale, per esempio, per le equazioni date da forme quadratiche, ma non vale per polinomi di grado superiore in più indeterminate.

Applicazioni

I numeri $p$ -adici compaiono in diversi campi della matematica e anche della fisica.

Analisi

Analogamente ai settori più classici dell'analisi reale e dell'analisi complessa, che studiano rispettivamente le funzioni sui numeri reali e su quelli complessi, l'analisi $p$ -adica studia le funzioni sui numeri $p$ -adici. La teoria delle funzioni numeriche a valori complessi definite sui numeri $p$ -adici fa parte della teoria dei gruppi localmente compatti (analisi armonica astratta). Con analisi $p$ -adica si intende solitamente la teoria delle funzioni a valori $p$ -adici definite su spazi di interesse.

Le applicazioni dell'analisi $p$ -adica riguardano principalmente la teoria dei numeri, dove essa svolge un ruolo significativo nella geometria diofantea e nell'approssimazione diofantea. Alcune applicazioni hanno richiesto lo sviluppo di un'analisi funzionale e di una teoria spettrale $p$ -adiche. Per molti aspetti l'analisi $p$ -adica è meno sottile dell'analisi classica, poiché la disuguaglianza ultrametrica rende, per esempio, molto più semplice la convergenza delle serie di numeri $p$ -adici. Gli spazi vettoriali topologici su campi $p$ -adici presentano caratteristiche peculiari; per esempio, gli aspetti legati alla convessità e al teorema di Hahn-Banach sono diversi.

Due concetti importanti dell'analisi $p$ -adica sono il teorema di Mahler, che caratterizza ogni funzione $p$ -adica continua in termini di polinomi, e l'integrale di Volkenborn, che fornisce un metodo di integrazione per le funzioni $p$ -adiche.

Teoria di Hodge

La teoria di Hodge $p$ -adica fornisce un modo per classificare e studiare le rappresentazioni di Galois $p$ -adiche dei campi locali di caratteristica 0 con caratteristica residua $p$ (come Q_p). La teoria ha origine dallo studio, da parte di Jean-Pierre Serre e John Tate, dei moduli di Tate delle varietà abeliane e dalla nozione di rappresentazione di Hodge-Tate. Le rappresentazioni di Hodge-Tate sono legate a certe decomposizioni delle teorie coomologiche $p$ -adiche analoghe alla decomposizione di Hodge, da cui il nome di teoria di Hodge $p$ -adica. Ulteriori sviluppi sono stati ispirati dalle proprietà delle rappresentazioni di Galois $p$ -adiche che nascono dalla coomologia étale delle varietà. Jean-Marc Fontaine ha introdotto molti dei concetti fondamentali di questo campo.

Teoria di Teichmüller

La teoria di Teichmüller $p$ -adica descrive l'"uniformizzazione" delle curve $p$ -adiche e dei loro spazi dei moduli, generalizzando l'usuale teoria di Teichmüller che descrive l'uniformizzazione delle superfici di Riemann e dei loro spazi dei moduli. È stata introdotta e sviluppata da Shinichi Mochizuki.

Fisica quantistica

La meccanica quantistica $p$ -adica è un insieme di linee di ricerca collegate, nell'ambito della fisica quantistica, che sostituiscono i numeri reali con i numeri $p$ -adici. Storicamente, queste ricerche furono ispirate dalla scoperta che l'ampiezza di Veneziano della stringa bosonica aperta, calcolata mediante un integrale sui numeri reali, può essere generalizzata ai numeri $p$ -adici. Questa osservazione diede avvio allo studio della teoria delle stringhe $p$ -adica.

Generalizzazioni e concetti correlati

I numeri reali e i numeri $p$ -adici sono i completamenti dei numeri razionali; è possibile completare in modo analogo anche altri campi, per esempio i campi di numeri algebrici in generale. Il procedimento è descritto di seguito.

Sia D un dominio di Dedekind ed E il suo campo dei quozienti. Si scelga un ideale primo non nullo P di D. Se x è un elemento non nullo di E, allora xD è un ideale frazionario e può essere scomposto in modo unico come prodotto di potenze positive e negative di ideali primi non nulli di D. Pertanto, indicando con ord_P(x) l'esponente di P in questa fattorizzazione si ottiene una valutazione discreta ben definita, e per ogni numero c maggiore di 1 si può porre

| x |_{P} = c^{- {ord}_{P} (x)} .

Completando rispetto a questo valore assoluto |⋅|_P si ottiene un campo E_P, che è la generalizzazione appropriata del campo dei numeri p-adici a questo contesto. La scelta di c non modifica il completamento (scelte diverse danno lo stesso concetto di successione di Cauchy, e quindi lo stesso completamento). Quando il campo residuo D/P è finito, è conveniente scegliere come c la cardinalità di D/P.

Per esempio, quando E è un campo di numeri e D è il suo anello degli interi, il teorema di Ostrowski afferma che ogni valore assoluto non archimedeo non banale su E è della forma |⋅|_P. I restanti valori assoluti non banali su E provengono dalle diverse immersioni di E nei numeri reali o complessi. (In effetti, i valori assoluti non archimedei possono essere considerati semplicemente come le diverse immersioni di E nei campi C_p, il che pone la descrizione di tutti i valori assoluti non banali di un campo di numeri su una base comune.)

Spesso è necessario tenere conto simultaneamente di tutti i completamenti sopra menzionati quando E è un campo di numeri (o più in generale un campo globale), che vengono visti come portatori di informazione "locale". Ciò si ottiene mediante gli anelli degli adele e i gruppi degli idele.

Gli interi $p$ -adici possono essere estesi ai solenoidi $p$ -adici $𝕋_{p}$ . Esiste un'applicazione da $𝕋_{p}$ al gruppo circolare le cui fibre sono gli interi $p$ -adici $ℤ_{p}$ , in analogia con l'applicazione da $ℝ$ alla circonferenza le cui fibre sono $ℤ$ .

Gli interi $p$ -adici possono anche essere estesi agli interi profiniti $\hat{ℤ}$ , che possono essere intesi come il prodotto diretto di anelli

\hat{ℤ} = \prod_{p} ℤ_{p} .

A differenza degli interi $p$ -adici, che generalizzano soltanto le congruenze modulo potenze di un primo $p^{k}$ , gli interi profiniti generalizzano le congruenze modulo tutti i numeri naturali $n$ . Il teorema cinese del resto implica analogamente una struttura per $ℤ_{n}$ nel caso di basi composte: per ogni $n$ con almeno due fattori primi distinti, l'anello degli interi $n$ -adici $ℤ_{n}$ è isomorfo a $\prod_{p | n} ℤ_{p}$ .

Note

Esplicative

↑ In questa voce, salvo diversa indicazione, $p$ indica un numero primo fissato una volta per tutte.
↑ Nell'introduzione del traduttore alla teoria delle funzioni algebriche di Dedekind e Weber si osserva che, a posteriori, dietro il concetto di numeri ideali di Kummer si cela una valutazione discreta. Dedekind e Weber 2012, p. 35
↑ Una notazione simile è spesso usata per gli interi modulo $p$ . Quando è possibile confusione, per gli interi modulo $p$ si usano comunemente le notazioni $ℤ / p ℤ$ , $ℤ / (p)$ o $ℤ / p$ .
↑ Per il lemma di Hensel, $ℚ_{2}$ contiene una radice quadrata di −7, quindi $2^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} + {(\sqrt{- 7})}^{2} = 0;$ se $p > 2,$ sempre per il lemma di Hensel $ℚ_{p}$ contiene una radice quadrata di $1 - p,$ quindi $(p - 1) \times 1^{2} + {(\sqrt{1 - p})}^{2} = 0.$
↑ Due campi algebricamente chiusi sono isomorfi se e solo se hanno la stessa caratteristica e lo stesso grado di trascendenza. Si veda per esempio Lang 2002, cap. X, § 1

Bibliografiche

↑ Si veda Hensel 1897
1 2 3 Chen, cap. 27
↑ Koç 2002
↑ Koblitz 1984, p. 13
1 2 Gouvêa 1997, p. 18
↑ Koblitz 1984, pp. 14-15
↑ Hazewinkel 2009, p. 342
↑ Hehner e Horspool 1979, pp. 124-134
↑ Gouvêa 1997, corollario 4.2.7
↑ Robert 2000, cap. 1, sez. 2.3
↑ Gouvêa 1997, teorema 4.4.1
↑ Gouvêa 1997, teorema 4.4.2
↑ Armacost e Armacost 1972
↑ Robert 2000, cap. 1, sez. 1.1
↑ Gouvêa 1997, corollario 5.3.10
↑ Gouvêa 1997, teorema 5.7.4
1 2 3 Cassels 1986, p. 149
1 2 Koblitz 1980, p. 13
↑ Gouvêa 1997, proposizione 5.7.8
↑ Gouvêa 1997, proposizione 3.4.2
↑ Lang 2002, p. 91

Bibliografia

(EN) D. L. Armacost e W. L. Armacost, On p-thetic groups, in Pacific Journal of Mathematics, vol. 41, n. 2, 1972, pp. 295-301, DOI:10.2140/pjm.1972.41.295.
(EN) J. W. S. Cassels, Local Fields, collana London Mathematical Society Student Texts, vol. 3, Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-31525-5.
(EN) Evan Chen, An Infinitely Large Napkin (PDF), su venhance.github.io. URL consultato il 23 luglio 2025.
(EN) Richard Dedekind e Heinrich Weber, Theory of Algebraic Functions of One Variable, a cura di John Stillwell, collana History of Mathematics, vol. 39, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8330-3. – Traduzione inglese di Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
(EN) F. Q. Gouvêa, A Marvelous Proof, in American Mathematical Monthly, vol. 101, n. 3, marzo 1994, pp. 203-222, DOI:10.2307/2975598, JSTOR 2975598.
(EN) Fernando Q. Gouvêa, p-adic Numbers: An Introduction, 2ª ed., Springer, 1997, ISBN 3-540-62911-4.
(EN) M. Hazewinkel (a cura di), Handbook of Algebra, vol. 6, North Holland, 2009, p. 342, ISBN 978-0-444-53257-2.
(EN) Eric C. R. Hehner e R. Nigel Horspool, A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic, in SIAM Journal on Computing, vol. 8, n. 2, 1979, pp. 124-134, DOI:10.1137/0208011.
(DE) Kurt Hensel, Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen, in Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 6, n. 3, 1897, pp. 83-88.
(EN) John L. Kelley, General Topology, New York, Ishi Press, 2008 [1955], ISBN 978-0-923891-55-8.
(EN) Neal Koblitz, p-adic analysis: a short course on recent work, collana London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 46, Cambridge University Press, 1980, ISBN 0-521-28060-5.
(EN) Ç. K. Koç, A Tutorial on p-adic Arithmetic (PDF), su cetinkayakoc.net, Electrical & Computer Engineering, Oregon State University, 2002. URL consultato il 23 luglio 2025.
(EN) Serge Lang, Algebra, collana Graduate Texts in Mathematics, vol. 211, 3ª ed., Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X.
(EN) Alain M. Robert, A Course in p-adic Analysis, Springer, 2000, ISBN 0-387-98669-3.

Approfondimenti

(EN) George Bachman, Introduction to p-adic Numbers and Valuation Theory, Academic Press, 1964, ISBN 0-12-070268-1.
(EN) Z. I. Borevič e I. R. Šafarevič, Number Theory, collana Pure and Applied Mathematics, vol. 20, Boston, Academic Press, 1986, ISBN 978-0-12-117851-2.
(EN) Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, collana Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, 2ª ed., Springer, 1984, ISBN 0-387-96017-1.
(EN) Kurt Mahler, p-adic numbers and their functions, collana Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 76, 2ª ed., Cambridge, Cambridge University Press, 1981, ISBN 0-521-23102-7.
(EN) Lynn Arthur Steen, Counterexamples in Topology, Dover, 1978, ISBN 0-486-68735-X.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Numeri p-adici, insieme dei, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) p-adic completion of the rational numbers, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

(EN) Opere riguardanti P-adic numbers, su Open Library, Internet Archive.

(EN) Eric W. Weisstein, p-adic Number, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) P-adic number, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 69790 · LCCN (EN) sh85096402 · GND (DE) 4044292-5 · BNF (FR) cb12266608w (data) · J9U (EN, HE) 987007555720905171

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[1] In questa voce, salvo diversa indicazione, $p$ indica un numero primo fissato una volta per tutte.

[3] Nell'introduzione del traduttore alla teoria delle funzioni algebriche di Dedekind e Weber si osserva che, a posteriori, dietro il concetto di numeri ideali di Kummer si cela una valutazione discreta. Dedekind e Weber 2012, p. 35

[6] Una notazione simile è spesso usata per gli interi modulo $p$ . Quando è possibile confusione, per gli interi modulo $p$ si usano comunemente le notazioni $ℤ / p ℤ$ , $ℤ / (p)$ o $ℤ / p$ .

[18] Per il lemma di Hensel, $ℚ_{2}$ contiene una radice quadrata di −7, quindi $2^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} + {(\sqrt{- 7})}^{2} = 0;$ se $p > 2,$ sempre per il lemma di Hensel $ℚ_{p}$ contiene una radice quadrata di $1 - p,$ quindi $(p - 1) \times 1^{2} + {(\sqrt{1 - p})}^{2} = 0.$

[24] Due campi algebricamente chiusi sono isomorfi se e solo se hanno la stessa caratteristica e lo stesso grado di trascendenza. Si veda per esempio Lang 2002, cap. X, § 1

[2] Si veda Hensel 1897

[Cita|Chen|cap._27-4] 1 2 3 Chen, cap. 27

[5] Koç 2002

[7] Koblitz 1984, p. 13

[G18-8] 1 2 Gouvêa 1997, p. 18

[9] Koblitz 1984, pp. 14-15

[10] Hazewinkel 2009, p. 342

[11] Hehner e Horspool 1979, pp. 124-134

[12] Gouvêa 1997, corollario 4.2.7

[13] Robert 2000, cap. 1, sez. 2.3

[14] Gouvêa 1997, teorema 4.4.1

[15] Gouvêa 1997, teorema 4.4.2

[16] Armacost e Armacost 1972

[17] Robert 2000, cap. 1, sez. 1.1

[19] Gouvêa 1997, corollario 5.3.10

[20] Gouvêa 1997, teorema 5.7.4

[C149-21] 1 2 3 Cassels 1986, p. 149

[K13-22] 1 2 Koblitz 1980, p. 13

[23] Gouvêa 1997, proposizione 5.7.8

[25] Gouvêa 1997, proposizione 3.4.2

[26] Lang 2002, p. 91