Funzione propria
In topologia una funzione continua fra spazi topologici è propria se la controimmagine di ogni insieme compatto è compatta.
Definizione
fra spazi topologici è propria se la controimmagine di ogni sottoinsieme compatto di è un insieme compatto in .
Successioni divergenti
Una definizione equivalente è la seguente. Una successione divergente in uno spazio topologico è una successione di punti che fuoriesce da qualsiasi insieme compatto. Una funzione è propria se e solo se manda successioni divergenti in successioni divergenti.
Esempi
Una funzione strettamente convessa che ammette un minimo è propria. Ad esempio la parabola è propria. La controimmagine di un compatto connesso è infatti il compatto .
Una funzione limitata non è mai propria.
Il fatto di essere propria o meno dipende, oltre che dall'espressione della funzione, dal dominio e/o dal codominio. Ad esempio la funzione , non è propria, infatti la controimmagine dell'intervallo , che è un compatto, è che non è un compatto. D'altro canto, si noti invece che la funzione è propria.
Proprietà
- Ogni mappa continua da uno spazio compatto a uno spazio di Hausdorff è chiusa e propria.
- Ogni mappa propria ammette grado topologico.
Bibliografia
- (EN) Nicolas Bourbaki, General topology. Chapters 5--10, Elements of Mathematics, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-3-540-64563-4, MR 1726872.
- (EN) Peter Johnstone, Sketches of an elephant: a topos theory compendium, Oxford, Oxford University Press, 2002, ISBN 0-19-851598-7., section C3.2 "Proper maps"
- (EN) Ronald Brown, Topology and groupoids, N. Carolina, Booksurge, 2006, ISBN 1-4196-2722-8., p. 90 "Proper maps".
- (EN) Brown, R. "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Proper Map, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Funzione propria, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
