Complesso di catene

In matematica un complesso di catene è un oggetto algebrico usato soprattutto in topologia algebrica. Consiste in una successione di gruppi abeliani e di funzioni fra questi che soddisfa alcune proprietà, utili a studiare e modellizzare gli spazi topologici.

Definizione

Un complesso di catene è una successione di gruppi abeliani $A_{i}$ indicizzati da numeri interi $i$ e di omomorfismi

\partial_{i} : A_{i} \to A_{i - 1}

definiti anch'essi per ogni intero $i$ , tali che la composizione di due omomorfismi successivi abbia come risultato sempre l'omomorfismo banale. In altre parole:

\partial_{i - 1} \circ \partial_{i} = 0

per ogni intero $i$ .

Un complesso di catene può essere descritto globalmente nel modo seguente:

\dots \to A_{n + 1} \overset{\partial_{n + 1}}{\to} A_{n} \overset{\partial_{n}}{\to} A_{n - 1} \overset{\partial_{n - 1}}{\to} A_{n - 2} \to \dots \overset{\partial_{2}}{\to} A_{1} \overset{\partial_{1}}{\to} A_{0} \overset{\partial_{0}}{\to} A_{- 1} \overset{\partial_{- 1}}{\to} A_{- 2} \overset{\partial_{- 2}}{\to} \dots

Un complesso di cocatene è una successione di gruppi abeliani $A^{i}$ e di omomorfismi

\partial^{i} : A^{i} \to A^{i + 1}

tali che la composizione di due omomorfismi successivi abbia come risultato sempre l'omomorfismo banale:

\partial^{i + 1} \circ \partial^{i} = 0

Un complesso di cocatene può essere descritto globalmente nel modo seguente:

\dots \to A^{- 2} \overset{\partial^{- 2}}{\to} A^{- 1} \overset{\partial^{- 1}}{\to} A^{0} \overset{\partial^{0}}{\to} A^{1} \overset{\partial^{1}}{\to} A^{2} \to \dots \to A^{n - 1} \overset{\partial^{n - 1}}{\to} A^{n} \overset{\partial^{n}}{\to} A^{n + 1} \to \dots .

Generalmente gli indici interi sono posizionati in basso (come pedici) per i complessi di catene, ed in alto (come apici) per i complessi di cocatene.

Omologia

In un complesso di catene, vale per ogni $i$ la relazione

im \partial_{i} \subset \ker \partial_{i - 1} .

L'omologia del complesso è quindi definita come il gruppo quoziente

H_{i} = \ker \partial_{i - 1} / im \partial_{i}

che è definito per ogni intero $i$ . Analogamente si definisce una coomologia $H^{i}$ a partire da un complesso di cocatene.

Il complesso di (co-)catene è detto aciclico se l'omologia è banale per ogni $i$ . Un complesso di (co-)catene aciclico è una successione esatta.

Bibliografia

(EN) Raoul Bott e Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90613-3.

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Chain Complex, su MathWorld, Wolfram Research.

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