Gruppo quoziente

In matematica, un gruppo quoziente è una particolare struttura algebrica che è possibile costruire a partire da un dato gruppo e un suo sottogruppo normale.

Definizione

Premessa

Sia $G$ un gruppo, e $H$ un suo sottogruppo normale. Si può introdurre la relazione di equivalenza su $G$ definita, per ogni $g, g^{'}$ appartenenti a $G$ , da

g \sim g^{'} \overset{d e f}{⟺} g^{'} g^{- 1} \in H ⟺ g^{'} = h g, h \in H

.

Si indica con $[g]$ la classe d'equivalenza

[g] = {h g ∣ h \in H} = H g

per ogni $g$ appartenente a $G$ (laterale destro di $H$ in $G$ ). In modo analogo è possibile definire la classe

[g]^{*} = {g h ∣ h \in H} = g H

(laterale sinistro), definita dalla relazione:

g \sim^{*} g^{'} \overset{d e f}{⟺} g^{- 1} g^{'} \in H ⟺ g^{'} = g h, h \in H

.

Poiché $H$ è normale, $[g] = [g]^{*}$ , cioè i laterali coincidono.

Gruppo quoziente

Si definisce gruppo quoziente $G / H$ l'insieme

G / H = {[g] ∣ g \in G}

delle classi d'equivalenza; la classe $[g]$ è ben definita, poiché la relazione d'equivalenza realizza una partizione di $G$ , sicché

g \sim̸ g^{'} \Rightarrow [g] \cap [g^{'}] = \emptyset

e

⨆_{g \in G} [g] = G

.

L'insieme $G / H$ può anche essere visto come l'insieme dei laterali di $H$ in $G$ .

Struttura di gruppo

L'insieme $G / H$ è ben definito per ogni tipo di sottogruppo; se però $H$ è normale (come è stato assunto), si può munire $G / H$ di una struttura di gruppo in modo naturale inducendo il prodotto da quello definito in $G$ ; si definisce infatti il seguente prodotto:

* : G / H \times G / H \to G / H

g H * g^{'} H := g g^{'} H

ossia $[g] * [g^{'}] := [g g^{'}]$ .

Questo soddisfa gli assiomi di gruppo, perché:

se $a \sim a^{'}$ e $b \sim b^{'}$ (cioè se $a^{'} = a h$ e $b^{'} = b k$ , con $h, k \in H$ ), allora $(a b)^{- 1} a^{'} b^{'} = b^{- 1} a^{- 1} a^{'} b^{'} = b^{- 1} h b k$ , che appartiene a $H$ perché questo è normale; di conseguenza, $a b \sim a^{'} b^{'}$ , e il prodotto è ben definito;
l'elemento unità di $G / H$ è proprio $[1]$ (dove $1$ è l'elemento unità di $G$ ), in quanto, per ogni $g \in G$ , si ha $g H * 1 H = (g 1) H = g H$ .
vale la relazione $[g]^{- 1} = [g^{- 1}]$ , perché $g H * g^{- 1} H = (g g^{- 1}) H = 1 H$ (cioè $g^{- 1} H$ è l'inverso di $g H$ ).

Pertanto, $(G / H, *)$ è un gruppo.

Proiezione

Per ogni gruppo quoziente, è possibile definire in modo naturale una proiezione canonica definita dall'applicazione:

π : G \to G / H

g \to [g]

.

Questa applicazione è un omomorfismo tra gruppi, cioè

π (g g^{'}) = π (g) * π (g^{'})

per ogni $g, g^{'}$ appartenenti a $G$ . L'applicazione è anche evidentemente suriettiva, dato che, per ogni $[g]$ , si ha

π^{- 1} ([g]) ∋ g

.

Il nucleo dell'applicazione, inoltre, è esattamente l'insieme $H$ , dato che

g \in Ker (π) \Leftrightarrow π (g) = [1] \Leftrightarrow g H = 1 H \Leftrightarrow g = 1 h, h \in H \Leftrightarrow g \in H

Note

↑ Viene di seguito adoperata la notazione moltiplicativa per la legge di composizione definita sul gruppo.
↑ Si tenga a mente che il nucleo di un omomorfismo da $G$ a $F$ è l'insieme degli elementi di $G$ che la funzione applica nell'elemento neutro di $F$ (in questo caso, $[1]$ ).

Bibliografia

Serge Lang, Algebra lineare, Bollati Boringhieri, 1970, ISBN 88-339-5035-2.

Voci correlate

Collegamenti esterni

gruppo quoziente, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Quotient Group, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Quotient group, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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[1] Viene di seguito adoperata la notazione moltiplicativa per la legge di composizione definita sul gruppo.

[2] Si tenga a mente che il nucleo di un omomorfismo da $G$ a $F$ è l'insieme degli elementi di $G$ che la funzione applica nell'elemento neutro di $F$ (in questo caso, $[1]$ ).

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