Gruppo profinito
In matematica, un gruppo profinito è un gruppo topologico che si può costruire con un certo processo di limite a partire da gruppi finiti. Molti teoremi validi per i gruppi finiti, quali i teoremi di Sylow, ammettono generalizzazioni naturali ai gruppi profiniti.
Formalmente, un gruppo profinito si può definire come un gruppo topologico T2, compatto con un sistema di intorni di fatto di sottogruppi normali.
Proprietà
Si può dimostrare che un gruppo profinito è limite proiettivo della famiglia dei suoi sottogruppi normali. È anche vero, viceversa, che il limite proiettivo di una famiglia di gruppi finiti dotati della topologia discreta è un gruppo profinito. Da quest'ultimo fatto deriva peraltro il nome profinito.
I gruppi profiniti estendono, in un certo senso, delle proprietà dei gruppi finiti. Tra le più importanti, la proprietà di essere gruppo di Galois di un'estensione di campi. Infatti, come i gruppi finiti sono i gruppi di Galois finiti, i gruppi profiniti sono i gruppi di Galois infiniti con la topologia di Krull.
Alcuni esempi
Un classico esempio di gruppo profinito è , il limite proiettivo della famiglia dotata delle mappe tali che, se , dove le quadre indicano la classe di resto di modulo . Si mostra che è il gruppo di Galois assoluto di campo finito con elementi.
Un'altra classe di esempi è costituita dagli interi p-adici, comunemente indicati con .
Bibliografia
- Michael D. Fried e Moshe Jarden, Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, vol. 11, 3ª ed., Springer-Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77269-9.
Collegamenti esterni
- (EN) Opere riguardanti Profinite groups, su Open Library, Internet Archive.
- (EN) Profinite group, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
