Teorema binomiale

In algebra, il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza $n$ -esima di un binomio qualsiasi mediante la formula

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k}

,

in cui il fattore $(\binom{n}{k})$ rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con $\frac{n!}{k! (n - k)!}$ . Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.

Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi relativi a $n = 2$ , $n = 3$ ed $n = 4$ :

(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

(x + y)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}

(x + y)^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4} .

Nel caso in cui $n$ sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita. Questa formula generalizzata, nel caso di $n$ reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome).

Esposizione

«Il binomio di Newton è bello come la Venere di Milo, peccato che pochi se ne accorgano.»

È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di $(a + b)$ in una sommatoria nella forma

\begin{matrix} (a + b)^{n} & = (\binom{n}{0}) a^{n} b^{0} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b^{1} + (\binom{n}{2}) a^{n - 2} b^{2} + (\binom{n}{3}) a^{n - 3} b^{3} + \dots \\ \dots + (\binom{n}{n - 1}) a^{1} b^{n - 1} + (\binom{n}{n}) a^{0} b^{n}, \end{matrix}

dove $(\binom{n}{k})$ rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k} .

Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo $1$ ad $a$ e $a$ a $b$ , considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:

(1 + a)^{n} = (\binom{n}{0}) a^{0} + (\binom{n}{1}) a^{1} + (\binom{n}{2}) a^{2} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) a^{n - 1} + (\binom{n}{n}) a^{n},

o, in maniera equivalente,

(1 + a)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} .

Prima dimostrazione (induttiva)

Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

(a + b)^{1} = \sum_{k = 0}^{1} (\binom{1}{k}) a^{(1 - k)} b^{k} = a + b

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente $n$ qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{(n - k)} b^{k},

si ha

(a + b)^{n + 1}

= (a + b) (a + b)^{n}

= (a + b) \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k}

e moltiplicando la sommatoria per $(a + b)$ si ha

= \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k + 1},

da cui

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k}

= (\binom{n}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k}

= (\binom{n}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n}{k + 1}) a^{n + 1 - (k + 1)} b^{k + 1}

= (\binom{n}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n}{k + 1}) a^{n - k} b^{k + 1} .

Inoltre

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k + 1}

= \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k + 1} + (\binom{n}{n}) b^{n + 1} .

Utilizzando nel primo passaggio la proprietà del coefficiente binomiale

(\binom{n + 1}{k + 1}) = (\binom{n}{k + 1}) + (\binom{n}{k})

si ha che

(a + b)^{n + 1}

= (\binom{n}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 0}^{n - 1} ((\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1})) a^{n - k} b^{k + 1} + (\binom{n}{n}) b^{n + 1}

= (\binom{n}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n + 1}{k + 1}) a^{n - k} b^{k + 1} + (\binom{n}{n}) b^{n + 1}

= (\binom{n}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n + 1}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} + (\binom{n}{n}) b^{n + 1} .

Poiché infine

(\binom{n}{0}) = (\binom{n + 1}{0}) = 1

e

(\binom{n}{n}) = (\binom{n + 1}{n + 1}) = 1,

si ha che

(\binom{n}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n + 1}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} + (\binom{n}{n}) b^{n + 1} = (\binom{n + 1}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n + 1}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} + (\binom{n + 1}{n + 1}) b^{n + 1}

e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio

(a + b)^{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) a^{(n + 1) - k} b^{k}

che conferma la tesi.

Seconda dimostrazione (combinatoria)

Se scriviamo $(a + b)^{n}$ come il prodotto

$(a + b) (a + b) (a + b) \dots$

con $n$ fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine $a^{n - k} b^{k}$ è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo $n - k$ volte $a$ e $k$ volte $b$ dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da $(\binom{n}{k})$ .

Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di $k$ da $0$ a $n$ , si ha subito la tesi.

Caso di esponente generale

La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per $n$ numero naturale. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per $(1 + x)^{α}, α \in ℝ$ , nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.

Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia $(1 + x)^{α} = 1 + α x + o (x),$ dove il resto $o (x)$ indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.

Lo sviluppo completo è

(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2} x^{2} + \frac{α (α - 1) (α - 2)}{6} x^{3} + \dots + (\binom{α}{k}) x^{k} + o (x^{k})

,

dove $(\binom{α}{k})$ è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da

(\binom{α}{k}) = \frac{α (α - 1) \dots (α - k + 1)}{k!}

.

Dimostrazione

Lo sviluppo attorno all'origine della funzione $(1 + x)^{α}$ è

(1 + x)^{α} = (1 + x)_{x = 0}^{α} + \frac{{((1 + x)^{α})}_{x^{'} = 0}^{'}}{1!} x + \frac{{((1 + x)^{α})}_{x^{″} = 0}^{″}}{2!} x^{2} + \dots + \frac{{((1 + x)^{α})}_{x = 0}^{(k)}}{k!} x^{k} + \dots

e, poiché

{((1 + x)^{α})}_{x^{'} = 0}^{'} = α (1 + x)_{x = 0}^{α - 1} = α

⋮ ⋮

{((1 + x)^{α})}_{x = 0}^{(i)} = α (α - 1) \dots (α - i + 1) (1 + x)_{x = 0}^{α - i} = α (α - 1) \dots (α - i + 1)

si ottiene

(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{α (α - 1) \dots (α - k + 1)}{k!} x^{k} + \dots

che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al $k$ -esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine $o (x^{k})$ .

Note

↑ (EN) The Story of the Binomial Theorem by J. L. Coolidge, su jstor.org, The American Mathematical Monthly, 1949, 147–157.
↑ I coefficienti binomiali e il binomio di Newton (PDF), su lsgobetti.it. URL consultato il 22 novembre 2014 (archiviato dall'url originale il 3 settembre 2013).

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) binomial theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

(EN) Opere riguardanti Binomial theorem, su Open Library, Internet Archive.

(EN) Eric W. Weisstein, Binomial Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.

Controllo di autorità	GND (DE) 4703915-2 · NDL (EN, JA) 00568502

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[1] (EN) The Story of the Binomial Theorem by J. L. Coolidge, su jstor.org, The American Mathematical Monthly, 1949, 147–157.

[2] I coefficienti binomiali e il binomio di Newton (PDF), su lsgobetti.it. URL consultato il 22 novembre 2014 (archiviato dall'url originale il 3 settembre 2013).

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