Coefficiente multinomiale

Il coefficiente multinomiale è un'estensione del coefficiente binomiale. Siano $k_{1}, \dots, k_{r}$ dei numeri interi positivi con $k_{1} + \dots + k_{r} = n$ . Il coefficiente multinomiale è definito come

(\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{r}}) := \frac{n!}{\prod_{i = 1}^{r} k_{i}!},

dove $\prod_{i = 1}^{r}$ è il simbolo della produttoria. Il coefficiente multinomiale è sempre un numero naturale.

Teorema multinomiale

Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:

(x_{1} + \dots + x_{r})^{n} = \sum_{k_{1} + \dots + k_{r} = n} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{r}}) \cdot \prod_{i = 1}^{r} x_{i}^{k_{i}},

ossia

(\sum_{i = 1}^{r} x_{i})^{n} = \sum_{k_{1} + \dots + k_{r} = n} n! \cdot \prod_{i = 1}^{r} \frac{x_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!},

dove $\sum_{k_{1} + \dots + k_{r} = n}$ indica la sommatoria di tutte le possibili $r$ -ple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a $n$ .

In particolare, per $x_{1} = \dots = x_{r} = 1$ si ottiene:

r^{n} = \sum_{k_{1} + \dots + k_{r} = n} n! \cdot \prod_{i = 1}^{r} \frac{1}{k_{i}!} .

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice e della contrazione tensoriale:

x^{n} = \sum_{k = n} n! \frac{𝐱^{𝐤}}{𝐤!},

con le norme unitarie:

k = \sum_{i = 1}^{r} k_{i} = {‖ 𝐤 ‖}_{1},

x = \sum_{i = 1}^{r} x_{i} = {‖ 𝐱 ‖}_{1},

e

𝐱^{𝐤} = (x_{1}^{k_{1}}, x_{2}^{k_{2}}, \dots, x_{r}^{k_{r}}) \in ℝ^{r} .

Applicazioni

Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi $n$ oggetti in $r$ scatole distinte, tali che $k_{1}$ oggetti stiano nella prima scatola, $k_{2}$ nella seconda, e così via; tale concetto si applica dunque anche alla statistica di Bose Einstein: il coefficiente multinomiale conta il numero dei modi in cui $n$ bosoni identici, cioè in distinguibili, possono essere collocati in equilibrio termodinamico su $r$ livelli energetici distinti, in modo che $k_{1}$ bosoni stiano sul primo livello energetico, $k_{2}$ sul secondo e così via.

Inoltre il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di $n$ oggetti, di cui $k_{1}$ uguali tra loro, $k_{2}$ uguali tra loro e così via, dove i valori $k_{i}$ sono numeri naturali uguali o maggiori a $1$ che soddisfano quindi $\sum_{i = 1}^{r} k_{i} = n$ .

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della variabile casuale multinomiale, una variabile casuale discreta, generalizzazione della variabile casuale binomiale. Notiamo $X = (X_{1}, \dots, X_{r})$ una variabile casuale che segue la legge multinomiale di parametri $((p_{1}, \dots, p_{r}), n)$ , dove i valori $p_{i}$ sono dei numeri positivi tali che $p_{1} + \dots + p_{r} = 1$ . Immaginamo di lanciare $n$ volte un dado a $r$ facce distinte, di cui la $i$ -esima faccia ha probabilità $p_{i}$ di apparire, allora $X_{i}$ è il numero di volte che la $i$ -esima faccia è apparsa (per ogni $i \in {1, \dots, r}$ ). In particolare $X$ prende i valori $(k_{1}, \dots, k_{r})$ con probabilità

ℙ (X = (k_{1}, \dots, k_{r})) = (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{r}}) \cdot \prod_{i = 1}^{r} p_{i}^{k_{i}} .

Esempio

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco skat). Quanti sono questi modi?

(\binom{32}{10, 10, 10, 2}) = \frac{32!}{10! \cdot 10! \cdot 10! \cdot 2!} = 2753294408504640.

Note

↑ Martin Aigner, Combinatorial Theory, collana Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol 234, Springer, 1979.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) multinomial coefficient, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Multinomial Coefficient, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] Martin Aigner, Combinatorial Theory, collana Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol 234, Springer, 1979.