Notazione multi-indice

La notazione multi-indice è una notazione matematica che permette la notevole semplificazione di molte formule, mediante la generalizzazione del concetto di indice a quello di ennupla ordinata di indici. Trova applicazione, ad esempio, nel calcolo in più variabili, nelle equazioni differenziali alle derivate parziali e nella teoria delle distribuzioni.

Un multi-indice n-dimensionale è una ennupla di numeri naturali, cioè numeri interi, maggiori o uguali a zero, $α = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}) \in ℕ^{n}$ .

Regole

Si definiscono le seguenti regole, per $α, β \in ℕ^{n}, 𝐱 = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in ℝ^{n}$ :

α \pm β = (α_{1} \pm β_{1}, α_{2} \pm β_{2}, \dots, α_{n} \pm β_{n});

α \leq β \Leftrightarrow α_{i} \leq β_{i} \forall i;

| α | = α_{1} + α_{2} + \dots + α_{n};

α! = α_{1}! α_{2}! \dots α_{n}!;

(\binom{α}{β}) = \frac{α!}{(α - β)! β!} = (\binom{α_{1}}{β_{1}}) (\binom{α_{2}}{β_{2}}) \dots (\binom{α_{n}}{β_{n}});

𝐱^{α} = x_{1}^{α_{1}} x_{2}^{α_{2}} \dots x_{n}^{α_{n}};

D^{α} = D_{1}^{α_{1}} D_{2}^{α_{2}} \dots D_{n}^{α_{n}},

dove

D_{i}^{j} := \partial^{j} / \partial x_{i}^{j}

. Al posto della lettera D maiuscola si usa anche la notazione

\partial^{α} .

Questa notazione permette di estendere molte formule del calcolo 1-variato ai casi n-variati. Alcuni esempi delle applicazioni più comuni:

Sviluppo multinomiale

{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{k} = \sum_{| α | = k}^{} \frac{k!}{α!} 𝐱^{α} .

Formula di Leibniz

Se u, v sono differenziabili, allora

D^{α} (u v) = \sum_{ν \leq α}^{} (\binom{α}{ν}) D^{ν} u D^{α - ν} v .

Serie di Taylor

Se f è analitica, allora

f (𝐱 + 𝐡) = \sum_{| α | \geq 0}^{} \frac{D^{α} f (𝐱)}{α!} 𝐡^{α} .

Un operatore differenziale parziale dell'n-esimo ordine si può scrivere come

P (D) = \sum_{| α | \leq N} a_{α} (x) D^{α} .

Integrazione parziale

Se u, v sono differenziabili a supporto compatto in un dominio limitato $Ω \subset ℝ^{n}$ si ha che

\int_{Ω} u (D^{α} v) d x = (- 1)^{| α |} \int_{Ω}^{} (D^{α} u) v d x .

Questa formula è usata per le definizioni di distribuzione e di derivata debole.

Teorema

Tesi: Se i, k sono multi-indici n-dimensionali e $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℝ^{n},$ allora

\partial^{i} x^{k} = {\begin{matrix} \frac{k!}{(k - i)!} x^{k - i} & se i \leq k, \\ 0 & altrimenti. \end{matrix}

Dimostrazione: Dalla regola di derivazione ordinaria, vale che, se i,k = 0,1,...

\frac{d^{i}}{d x^{i}} x^{k} = {\begin{matrix} \frac{k!}{(k - i)!} x^{k - i} & se i \leq k, \\ 0 & altrimenti. \end{matrix}

Se supponiamo $i = (i_{1}, \dots, i_{n})$ , $k = (k_{1}, \dots, k_{n})$ , allora abbiamo che

\partial^{i} x^{k} = \frac{\partial^{| i |}}{\partial x_{1}^{i_{1}} \dots \partial x_{n}^{i_{n}}} x_{1}^{k_{1}} \dots x_{n}^{k_{n}} = \frac{\partial^{i_{1}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}} x_{1}^{k_{1}} \dots \frac{\partial^{i_{n}}}{\partial x_{n}^{i_{n}}} x_{n}^{k_{n}},

in quanto per ogni r=1,...,n la funzione $x_{r}^{k_{r}}$ dipende solo dall'r-esima coordinata. Dall'uguaglianza scritta sopra, si evince che ogni differenziazione parziale $\partial / \partial x_{r}$ si riduce alla derivazione ordinaria $d / d x_{r}$ . Ma allora, dalla regola di derivazione scritta all'inizio, ne segue che $\partial^{i} x^{k}$ si annulla se $i_{r} > k_{r}$ per qualche r=1,...,n. Se ciò non accade mai, cioè se, per definizione, $i \leq k$ nel senso del multi-indice, allora per ogni r=1,...,n viene $\frac{d^{i_{r}}}{d x_{r}^{i_{r}}} x_{r}^{k_{r}} = \frac{k_{r}!}{(k_{r} - i_{r})!} x_{r}^{k_{r} - i_{r}}$ e dunque la tesi del teorema. $◻$

Collegamenti esterni

(EN) Multi-index derivative of a power su PlanetMath

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