Supporto (matematica)

In matematica, il supporto o sostegno di una funzione è il sottoinsieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla. Se il dominio è uno spazio topologico e la funzione è continua, allora è conveniente definire il supporto come la chiusura dell'insieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla.

Nel caso di una curva, il supporto è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva.

Nel caso di una misura $μ$ su uno spazio misurabile $(X, 𝒜)$ , il supporto è definito come la chiusura del sottoinsieme di $X$ i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Funzioni

Sia $X$ uno spazio topologico, e $Y$ uno spazio vettoriale. Sia:

f : Ω \subseteq X \to Y

Si definisce supporto di $f$ l'insieme:

supp f := \overline{{𝐱 \in Ω : f (𝐱) \neq 𝟎}}

Di particolare importanza in analisi sono le funzioni a supporto compatto.

Teoria della misura

Il supporto di una misura $μ$ su uno spazio misurabile $(X, 𝒜)$ è la chiusura del sottoinsieme di $X$ i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Sia $(X, 𝒜, μ)$ uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora:

s u p p μ := \overline{{x \in X : \forall N ∋ x, μ (N) > 0}}

Curve

Il supporto di una curva è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva. Sia $𝐫$ la parametrizzazione di una curva:

𝐫 : I \subseteq ℝ \to ℝ^{n},

allora il suo supporto $Γ$ è l'immagine di $𝐫$ , cioè l'insieme:

Γ = {𝐱 \in ℝ^{n} : \exists t \in I, 𝐱 = 𝐫 (t)} = 𝐫 (I) .

Si nota che per descrivere la curva non basta solo il suo supporto. Infatti, ad esempio, la curva $γ_{1} (t) = (\cos t, \sin t), t \in [0, 2 π]$ e la curva $γ_{2} (t) = (\cos t, \sin t), t \in [0, 3 π]$ hanno lo stesso supporto, ma la prima è semplice e chiusa, la seconda no.

Supporto singolare

Nell'analisi di Fourier, il supporto singolare di una distribuzione è intuitivamente definito come l'insieme dei punti in cui la distribuzione non è una funzione liscia. Per esempio, la trasformata di Fourier della funzione gradino di Heaviside può essere vista come la funzione $1 / x$ eccetto per il punto $x = 0$ . Nello specifico, essa ha la forma:

\hat{H} (s) = lim_{N \to \infty} \int_{- N}^{N} e^{- 2 π i x s} H (x) d x = \frac{1}{2} (δ (s) - \frac{i}{π} p . v . \frac{1}{s})

La trasformata possiede quindi un supporto singolare ${0}$ e non può essere espressa come una funzione, ma come la distribuzione (temperata) $p . v . 1 / s$ che associa alla funzione di test $φ$ il valore principale di Cauchy di:

\int_{- \infty}^{\infty} φ (s) / s d s

Note

↑ W. Rudin, pag. 36.

Bibliografia

(EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
(EN) Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., New York, John Wiley, 1999, p. 132.
(EN) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed., Berlin, Springer-Verlag, 1990, p. 14.
(EN) Andrea Pascucci, PDE and Martingale Methods in Option Pricing, Berlin, Springer-Verlag, 2011, p. 678, DOI:10.1007/978-88-470-1781-8, ISBN 978-88-470-1780-1.

Voci correlate

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[1] W. Rudin, pag. 36.