Estensione normale
In matematica, e in particolare in teoria dei campi, un'estensione normale è un'estensione di campi algebrica tale che ogni polinomio irriducibile nell'anello dei polinomi che ha una radice in si spezza completamente in
Definizioni equivalenti
Vi sono molte caratterizzazioni equivalenti delle estensioni normali. Se infatti è un'estensione di campi, allora sono equivalenti:
- è un'estensione normale;
- se , allora tutte le radici del polinomio minimo di su sono in ;
- ogni automorfismo di una chiusura algebrica di che fissa è un automorfismo di ;
- è il campo di spezzamento su di una famiglia di polinomi di .
Quando l'estensione è anche finita, allora l'ultima di queste equivalenze può essere semplificata richiedendo che sia il campo di spezzamento di un singolo polinomio di .
Esempi
- Il campo è un'estensione normale di ,in quanto esso è il campo di spezzamento di . Più in generale, qualsiasi estensione di grado 2 è normale.
- non è un'estensione normale di : infatti, ha come polinomio minimo , le cui altre due radici non sono reali, e quindi non possono essere contenute dentro (che è contenuto in ).
- Se è la chiusura algebrica di , allora è normale, in quanto ogni polinomio di si decompone linearmente in .
Proprietà
- Per definizione, un'estensione è di Galois se e solo se è normale e separabile.
- Se è un'estensione normale, e , allora anche è normale. In generale, invece, l'estensione non è normale.
- Se e sono estensioni normali, allora anche e (dove è il campo generato da ed ) sono normali. Lo stesso avviene per una quantità infinita di estensioni normali.
Chiusura normale
Se è un'estensione algebrica, esiste sempre un'estensione di che è la più piccola estensione normale di contenente ; essa è chiamata la chiusura normale di su , ed è unica a meno di isomorfismi.
Se (cioè se è generato su da un insieme ), allora la chiusura normale di su è generata dalle radici dei polinomi minimi su degli elementi di : ad esempio, la chiusura normale di su è uguale a , dove è una radice primitiva terza dell'unità.
In particolare, se è un'estensione finita anche la chiusura normale di su è un'estensione finita di .
Bibliografia
- Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Normal Extension, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Estensione normale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
