Corpo (matematica)

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In matematica, un corpo è una particolare struttura algebrica, che può essere considerata come intermedia fra quella di anello e quella di campo.

Un corpo è infatti un insieme munito di due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto e indicate rispettivamente con + e ∗, che abbia tutte le proprietà usuali di un campo, tranne la proprietà commutativa per il prodotto. Equivalentemente, è un anello unitario in cui ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo.

Definizione

Un corpo è un insieme K, non vuoto e non ridotto ad un unico elemento, dotato di due operazioni binarie interne + e ∗ che soddisfa i seguenti assiomi:

(K,+) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0:

  • (a+b)+c=a+(b+c)
  • a+b=b+a
  • 0+a=a+0=a
  • per ogni a esiste un elemento −a tale che a+(−a)=0

(K∗,∗) è un gruppo con elemento neutro 1:

  • a∗(b∗c)=(a∗b)∗c
  • 1∗a=a∗1=a
  • per ogni a≠0 esiste un elemento a−1 tale che a∗a−1=a−1∗a=1

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:

  • a∗(b+c)=a∗b+a∗c
  • (a+b)∗c=a∗c+b∗c

(le relazioni devono valere per ogni a,b e c in K)

Nella definizione, K∗=K∖{0} quindi necessariamente 1≠0.

Un corpo in cui la moltiplicazione è commutativa è detto corpo commutativo, e più usualmente campo.

Esempi

Ogni campo è anche un corpo: sono quindi corpi i campi ℚ,ℝ,ℂ dei numeri razionali, reali e complessi.

L'insieme ℍ dei quaternioni è un corpo, ma non è un campo, infatti il prodotto tra quaternioni non è commutativo.

Proprietà

Equazioni

In un corpo sono risolubili in modo unico le equazioni

a∗x=b, x∗a=b,

per ogni a,b∈K con a≠0.

Bibliografia

Voci correlate

Collegamenti esterni

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