Classe laterale

La classe laterale (in inglese coset) è un concetto matematico, utile nella teoria dei gruppi. Tramite questa nozione si definiscono i concetti di sottogruppo normale e di gruppo quoziente.

Definizione

Sia $(G; \cdot)$ un gruppo e sia $H$ un suo sottogruppo e $a \in G$ . Nel seguito utilizziamo per l'operazione di gruppo la notazione $a \cdot b = a b$ . La classe laterale destra (o più semplicemente il laterale destro) di $H$ in $G$ rappresentato da $a$ è l'insieme:

H a = {b \in G | b = h a, h \in H} = {H ∋ h = b a^{- 1}, b \in G},

cioè fissato un elemento $a$ di $G$ detto rappresentante della classe, si fa il prodotto $b = h a$ dove $h$ è un qualsiasi elemento del sottogruppo $H .$ Oppure si prende l'elemento opposto di $a$ e si fa il prodotto $b a^{- 1}$ con qualsiasi elemento $b$ di $G$ verificando di ottenere un elemento di $H .$

Simmetricamente si definisce la classe laterale sinistra (o laterale sinistro) di $H$ in $G$ rappresentato da $a$ come l'insieme:

a H = {b \in G | b = a h, h \in H} = {H ∋ h = a^{- 1} b, b \in G} .

Descrizione tramite classi di equivalenza

È possibile descrivere ogni classe laterale destra come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza $\sim_{H \cdot}$ definita in $G$ ponendo per $a, b \in G$ :

a \sim_{H \cdot} b ⟺ b a^{- 1} \in H ⟺ b \in H a .

La classe di equivalenza contenente l'elemento $g$ è proprio $H g$ : infatti $g = e g$ , dove $e$ è l'elemento neutro di $G$ : quindi $e \in H$ perché $H$ è un sottogruppo.

Anche ogni classe laterale sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:

a \sim_{\cdot H} b ⟺ a^{- 1} b \in H ⟺ b \in a H .

L'insieme quoziente destro o sinistro mediante la relazione di equivalenza, cioè l'insieme o collezione delle classi laterali distinte o disgiunte in cui è partizionato $G$ si definisce come:

G / \sim_{\cdot H} := {x H | x \in G},

G / \sim_{H \cdot} := {H x | x \in G},

dove l'elemento $x$ è il rappresentante della classe laterale. Nel caso di un gruppo abeliano $G$ si ha sempre

G / \sim_{\cdot H} = G / \sim_{H \cdot}, \forall H \leq G,

cioè le partizioni destre e sinistre coincidono e quindi qualsiasi sottogruppo è sempre normale. Nel caso non abeliano si possono avere sottogruppi normali e non.

Proprietà

Osserviamo che, a causa delle due equivalenze $\sim_{H \cdot}$ e $\sim_{\cdot H}$ , sia i laterali sinistri che i destri del gruppo $G$ sono sottoinsiemi mutuamente disgiunti del gruppo. Quindi le due applicazioni

\begin{matrix} ϕ_{\cdot H} : H & \to x H \\ h & \mapsto x h, \end{matrix}

\begin{matrix} ϕ_{H \cdot} : H & \to H x \\ h & \mapsto h x, \end{matrix}

sono biunivoche e si possono esprimere con l'unica biiezione naturale

\begin{matrix} ϕ_{H} : x H & \to H x \\ x h & \mapsto h x^{- 1} . \end{matrix}

Per cui due qualsiasi classi laterali possono essere facilmente messe in corrispondenza biunivoca: da ciò deriva che esse hanno tutte la stessa cardinalità. Cioè in ogni gruppo le classi laterali sinistre sono tante quante le classi laterali destre: tale numero, sia esso finito o infinito, è detto indice del sottogruppo $H$ nel gruppo $G$ , e si denota con più simboli a seconda del testo utilizzato

i (H) = (G : H) = [G : H] .

In particolare, se $G$ è finito e ha $n$ elementi, e $H$ ha $m$ elementi, si ha $n = m \cdot i (H)$ : quindi la cardinalità di ogni sottogruppo $H$ di un gruppo finito $G$ e il suo indice $i (H)$ sono divisori della cardinalità di $G$ (si veda il teorema di Lagrange).

In generale le classi laterali sinistre e le classi laterali destre di un sottogruppo costituiscono due collezioni diverse; in altre parole le due equivalenze indotte sono diverse. Un sottogruppo $N$ di $G$ che definisce un'unica partizione, cioè tale che $g N = N g,$ per ogni $g \in G$ , si dice sottogruppo normale di $G$ ; in genere tale partizione è formata da $i (H)$ classi cioè dal valore dell'indice di $H .$ Quando un sottogruppo forma una partizione che consiste di solo due classi laterali sinistre o destre cioè l'indice del sottogruppo $H$ diventa $[G : H] = 2,$ allora $H = N$ cioè è normale ma non vale il viceversa. In qualsiasi gruppo i due sottogruppi banali sono normali. La definizione data consente di passare dall'insieme quoziente alla definizione di gruppo quoziente i cui elementi sono le classi laterali sinistre o, indifferentemente, quelle destre. Cioè:

G / \sim_{\cdot H} = G / \sim_{H \cdot} = G / N

e in tale gruppo abbiamo:

$x H \circ y H = x y H$ che equivale a $H x \circ H y = H x y$ come legge di composizione interna associativa;

(x H y H) z H = x H (y H z H) \forall x H, y H, z H \in G / N

;

$e H = H e = e N = N e$ come elemento neutro;
${x H}^{- 1} = x^{- 1} H$ come elemento inverso.

a cui viene associata una tabella di Cayley $i (H) \cdot i (H)$ .

Casi particolari

Casi particolari sono quelli dei sottogruppi impropri o banali. Sia $H = {e}$ . In tal caso si ottiene

a_{i} H = {a_{i}} = H a_{i}, i = 1, 2, \dots, | G |,

quindi i laterali destri e sinistri sono uguali e contengono un solo elemento per cui

i (H) = | G |

e il teorema di Lagrange diventa

| G | = | H | \cdot i (H) = 1 \cdot | G |

. L'altro caso è

H = G

e si ottiene

a_{i} H = H a_{i} = G, i = 1, 2, \dots, | G |,

quindi i laterali destri e sinistri coincidono con una sola classe di equivalenza per cui

i (H) = 1

e il teorema di Lagrange diventa

| G | = | H | \cdot i (H) = | G | \cdot 1

.

Se come elemento $x$ rappresentativo della classe prendiamo l'elemento neutro di $G$ si ha

e H = {y \in G | e^{- 1} y = e y = y \in H} = H

H e = {y \in G | y e^{- 1} = y e = y \in H} = H

e H = H = H e

con

e

elemento neutro di

G

. Quindi il laterale destro e sinistro sono uguali e coincidenti con

H .

Esempi

Gruppo simmetrico

Questo esempio considera un gruppo non abeliano di ordine finito. Il gruppo simmetrico $S_{3}$ ha legge di composizione non commutativa

α \circ β = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ α (1) & α (2) & α (3) \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ β (1) & β (2) & β (3) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ α (β (1)) & α (β (2)) & α (β (3)) \end{matrix}) \neq β \circ α

elemento neutro ed opposto

i d = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix})

cioè tutti gli elementi sono punti fissi.

α^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ α^{- 1} (1) & α^{- 1} (2) & α^{- 1} (3) \end{matrix})

occorre scambiare le righe nella notazione 2-linea.

Consideriamo i sottogruppi di $S_{3}$ il cui ordine sono divisori dell'ordine del gruppo $| S_{3} | = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ per il teorema di Lagrange. Quindi i divisori possibili sono 1, 2, 3, 6. Dalla teoria i divisori che sono numeri primi sono ordini di gruppi ciclici. Da una semplice analisi della tabella Cayley si ottengono:

due sottogruppi normali banali ${i d} = {C_{3}^{3}} = {(1) (2) (3)}$ ed $S_{3} = C_{3} \times C_{2} = < (1 3 2), (2 3) >$ di ordini 1 e 6;
il sottogruppo normale alternante $A_{3} = {i d, (1 2 3), (1 3 2)} = C_{3} = {C_{3}^{3}, C_{3}, C_{3}^{2}} = < (1 3 2) >$ che è un gruppo ciclico di ordine 3;
tre sottogruppi delle riflessioni $T_{2}^{'} = {i d, (2 3) (1)} = {C_{3}^{3}, σ^{'}} = C_{2}^{'} = < (2 3) >$ , $T_{2}^{'^{'}} = {i d, (1 3) (2)} = {C_{3}^{3}, σ^{'^{'}})} = C_{2}^{'^{'}} = < (1 3) >$ e $T_{2}^{'^{″}} = {i d, (1 2) (3)} = {C_{3}^{3}, σ^{'^{″}}} = C_{2}^{'^{″}} = < (1 2) >$ che sono gruppi ciclici di ordine 2.

Quindi ci sono sei sottogruppi di cui tre normali. Abbiamo utilizzato la notazione ciclica e i simboli dei gruppi ciclici di ordine 2 e 3. Vogliamo conoscere le loro classi laterali. Iniziamo dal caso semplice dei due sottogruppi banali:

H = {i d}, C_{3}^{3} H = H C_{3}^{3} = {C_{3}^{3}}, \dots, σ^{'^{″}} H = H σ^{'^{″}} = {σ^{'^{″}}},

quindi 6 classi laterali destre e sinistre coincidenti e l'indice diventa $[S_{3} : {i d}] = 6.$

H = S_{6}, C_{3}^{3} H = H C_{3}^{3} = \dots = σ^{'^{″}} H = H σ^{'^{″}} = S_{3},

quindi una sola classe laterale destra e sinistra coincidente e l'indice diventa $[S_{3} : S_{3}] = 1.$

H = T_{2}^{'} .

Utilizziamo la tabella Cayley del gruppo (con la convenzione che il primo fattore è quello della riga) e la tabella seguente dove fissiamo un elemento $x_{i} \in G,$ per $i = 1, 2, \dots, 6$ , in questo caso $x_{i} = C_{3}^{2}$ e quindi $x_{i}^{- 1} = C_{3}$ e poi lo componiamo con qualsiasi elemento $x_{k} \in G,$ per $k = 1, 2, \dots, 6$ . Per quei prodotti che stanno in H troviamo gli $x_{k} \in x_{i} H$ . Stessa procedura per trovare gli $x_{k} \in H x_{i}$ .

Classe laterale sinistra
$x_{i}$	$x_{i}^{- 1}$	$x_{k}$	$x_{i}^{- 1} x_{k}$
$C_{3}^{2}$	$C_{3}$	$C_{3}^{3}$	$C_{3} C_{3}^{3} = C_{3}$
		$C_{3}^{2}$	$C_{3} C_{3}^{2} = C_{3}^{3} \in H$
		$C_{3}$	$C_{3} C_{3} = C_{3}^{2}$
		$σ^{'}$	$C_{3} σ^{'} = σ^{'^{'}}$
		$σ^{'^{'}}$	$C_{3} σ^{'^{'}} = σ^{'^{″}}$
		$σ^{'^{″}}$	$C_{3} σ^{'^{″}} = σ^{'} \in H$

Classe laterale destra
$x_{i}$	$x_{i}^{- 1}$	$x_{k}$	$x_{k} x_{i}^{- 1}$
$C_{3}^{2}$	$C_{3}$	$C_{3}^{3}$	$C_{3}^{3} C_{3} = C_{3}$
		$C_{3}^{2}$	$C_{3}^{2} C_{3} = C_{3}^{3} \in H$
		$C_{3}$	$C_{3} C_{3} = C_{3}^{2}$
		$σ^{'}$	$σ^{'} C_{3} = σ^{'^{″}}$
		$σ^{'^{'}}$	$σ^{'^{'}} C_{3} = σ^{'} \in H$
		$σ^{'^{″}}$	$σ^{'^{″}} C_{3} = σ^{'^{'}}$

abbiamo ottenuto $x_{i} H = C_{3}^{2} H = {C_{3}^{2}, σ^{'^{″}}}$ per il laterale sinistro e $H x_{i} = H C_{3}^{2} = {C_{3}^{2}, σ^{'^{'}}} \neq C_{3}^{2} H$ per quello destro.

Con questo modo di operare si ottengono i seguenti risultati:

σ^{'} H = C_{3}^{3} H = H σ^{'} = H C_{3}^{3} = T_{2}^{'},

σ^{'^{'}} H = C_{3} H = {C_{3}, σ^{'^{'}}} \neq {C_{3}^{2}, σ^{'^{'}}} = H σ^{'^{'}} = H C_{3}^{2},

σ^{'^{″}} H = C_{3}^{2} H = {C_{3}^{2}, σ^{'^{″}}} \neq {C_{3}, σ^{'^{″}}} = H σ^{'^{″}} = H C_{3},

e si può notare che due laterali destri o sinistri possono coincidere ma solo nel caso dell'elemento neutro le classi destra e sinistra coincidono. Comunque le classi sinistre diverse sono tre quanto quelle destre e sono disgiunte. Per cui l'indice di $H$ in $S_{3}$ ha valore $[S_{3} : T_{2}^{'}] = 3.$

Stesso metodo si applica ai restanti sottogruppi, ottenendo il risultato:

Classi laterali dei sottogruppi di $S_{3}$
$\| H \|$	$H$	$G / \sim_{\cdot H}$	$G / \sim_{H \cdot}$	$[S_{3} : H]$
1	${i d} = N$	$C_{3}^{3} H = {C_{3}^{3}}, \dots, σ^{'^{″}} H = {σ^{'^{″}}}$	$H C_{3}^{3} = {C_{3}^{3}}, \dots, H σ^{'^{″}} = {σ^{'^{″}}}$	6
2	$T_{2}^{'} = {C_{3}^{3}, σ_{'}}$	$\begin{matrix} σ^{'} H = C_{3}^{3} H = & T_{2}^{'} \\ σ^{'^{'}} H = C_{3} H = & {C_{3}, σ^{'^{'}}} \\ σ^{'^{″}} H = C_{3}^{2} H = & {C_{3}^{2}, σ^{'^{″}}} \end{matrix}$	$\begin{matrix} H σ^{'} = H C_{3}^{3} = & T_{2}^{'} \\ H σ^{'^{'}} = H C_{3}^{2} = & {C_{3}^{2}, σ^{'^{'}}} \\ H σ^{'^{″}} = H C_{3} = & {C_{3}, σ^{'^{″}}} \end{matrix}$	3
2	$T_{2}^{'^{'}} = {C_{3}^{3}, σ_{'^{'}}}$	$\begin{matrix} σ^{'^{'}} H = C_{3}^{3} H = & T_{2}^{'^{'}} \\ σ^{'} H = C_{3}^{2} H = & {C_{3}^{2}, σ^{'}} \\ σ^{'^{″}} H = C_{3} H = & {C_{3}, σ^{'^{″}}} \end{matrix}$	$\begin{matrix} H C_{3}^{3} = H σ^{'^{'}} = & T_{2}^{'^{'}} \\ H C_{3}^{2} = H σ^{'^{″}} = & {C_{3}^{2}, σ^{'^{″}}} \\ H C_{3} = H σ^{'} = & {C_{3}, σ^{'}} \end{matrix}$	3
2	$T_{2}^{'^{″}} = {C_{3}^{3}, σ_{'^{″}}}$	$\begin{matrix} σ^{'^{″}} H = C_{3}^{3} H = & T_{2}^{'^{″}} \\ σ^{'^{'}} H = C_{3}^{2} H = & {C_{3}^{2}, σ^{'^{'}}} \\ σ^{'} H = C_{3} H = & {C_{3}, σ^{'}} \end{matrix}$	$\begin{matrix} H C_{3}^{3} = H σ^{'^{″}} = & T_{2}^{'^{″}} \\ H C_{3}^{2} = H σ^{'^{'}} = & {C_{3}, σ^{'^{'}}} \\ H C_{3} = H σ^{'} = & {C_{3}^{2}, σ^{'}} \end{matrix}$	3
3	$A_{3} = {C_{3}^{3}, C_{3}, C_{3}^{2}} = N$	$\begin{matrix} C_{3}^{3} H = C_{3}^{2} H = C_{3} H = & A_{3} \\ σ^{'} H = σ^{'^{'}} H = σ^{'^{″}} H = & {σ^{'}, σ^{'^{'}}, σ^{'^{″}}} \end{matrix}$	$\begin{matrix} H C_{3} = H C_{3}^{2} = H C_{3}^{3} = & A_{3} \\ H σ^{'} = H σ^{'^{'}} = H σ^{'^{″}} = & {σ^{'}, σ^{'^{'}}, σ^{'^{″}}} \end{matrix}$	2
6	$S_{3} = N$	$C_{3}^{3} H = \dots = σ^{'^{″}} H = S_{3}$	$H C_{3}^{3} = \dots = H σ^{'^{″}} = S_{3}$	1

Gruppo additivo

Adesso gli esempi vengono fatti su gruppi infiniti dove l'indice del sottogruppo ha valore finito. Sia $G$ il gruppo additivo degli interi

G = ℤ = ({\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots}, +),

cioè del gruppo interi relativi con la legge di composizione l'usuale addizione. Quindi abbiamo:

i d = 0

come elemento neutro;

- a

come elemento opposto rispetto alla legge composizione;

a + b = b + a,

per ogni

a, b \in G

cioè un gruppo abeliano.

Consideriamo come sottogruppo $H \leq ℤ$

H = (3 ℤ, +) = ({\dots, - 6, - 3, 0, 3, 6, \dots}, +) .

Allora le classi laterali destre di $H$ in $G$ sono i tre insiemi

G / \sim_{H \cdot} = {H + 0, H + 1, H + 2},

dove abbiamo utilizzato la notazione per la classe laterale destra

H + x = {\dots, - 6 + x, - 3 + x, x, 3 + x, 6 + x, \dots}, x = 0, 1, 2,

con $x$ il rappresentante della classe. Questi tre insiemi suddividono l'insieme (o formano una partizione di) $ℤ,$ quindi non ci sono altri laterali destri di $H .$ Essendo l'addizione commutativa si ha pure:

H + x = x + H, x = 0, 1, 2.

Cioè, ogni laterale sinistro di $H$ è anche un laterale destro, e l'indice di $H$ in $G$ è semplicemente

| G / \sim_{\cdot H} | = | G / \sim_{H \cdot} | = [G : H] = 3.

Quindi $H ⊴ G,$ cioè un sottogruppo normale con indice 3. (La stessa citazione mostra che ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale.)

Generalizzando, sia $G$ sempre il gruppo additivo degli interi, e consideriamo il generico sottogruppo $H$

H = (n ℤ, +) = ({\dots, - 2 n, - n, 0, n, 2 n, \dots}, +),

dove $n$ è un intero positivo. Allora i laterali destro e sinistro di $H$ in $G$ sono gli $n$ insiemi (cioè l'indice di $H$ in $G$ è $[G : H] = n$ )

G / \sim_{H \cdot} = {n ℤ + 0, n ℤ + 1, \dots, n ℤ + (n - 1)},

G / \sim_{\cdot H} = {0 + n ℤ, 1 + n ℤ, \dots, (n - 1) + n ℤ},

che sono coincidenti essendo $ℤ$ un gruppo abeliano. Una generica classe laterale destra con rappresentante $x$ è un insieme del tipo:

n ℤ + x = {\dots, - 2 n + x, - n + x, x, n + x, 2 n + x, \dots} .

Non ci sono più di $n$ laterali destri e sinistri, infatti $n ℤ + n = n (ℤ + 1) = n ℤ .$

La classe laterale del sottogruppo normale $H = N = n ℤ$ forma un sottogruppo

(n ℤ + x, +) = (x + n ℤ, +)

e viene detta classe di congruenza di $x$ modulo $n .$ Il sottogruppo $H = n ℤ$ è normale nel gruppo $G = ℤ,$ e quindi, ha senso formare il gruppo quoziente

G / H = G / N = ℤ / (n ℤ) = {n ℤ + x = x + n ℤ | x \in ℤ},

detto gruppo additivo degli interi modulo $n$ a cui viene associata una tabella Cayley $n \times n .$

Spazi vettoriali

Un altro esempio di classi laterali viene dalla teoria degli spazi vettoriali dove l'indice del sottogruppo ha valore infinito. Sia $G$ un gruppo coincidente con uno spazio vettoriale $V$ . Gli elementi (vettori) di uno spazio vettoriale formano un gruppo abeliano con legge di composizione l'usuale addizione vettoriale. Quindi abbiamo

i d = 0_{V}

il vettore nullo come elemento neutro;

- v

come elemento opposto rispetto alla legge composizione;

v_{1} + v_{2} = v_{2} + v_{1}, \forall v_{1}, v_{2} \in G,

cioè

V

è un gruppo abeliano.

I sottospazi di uno spazio vettoriale sono i sottogruppi di questo gruppo. Nello spazio $ℝ^{3}$ tali sottospazi, dovendo contenere l'elemento neutro $0_{V},$ sono rette e piani passanti per l'origine $O = (0, 0, 0) = 0_{V}$ del sistema di riferimento. Fissiamo allora un sottospazio $W = H$ e un vettore $x$ di $V$ , consideriamo le classi laterali di tale elemento fissato:

x + W = {𝐯 \in V ∣ 𝐯 = 𝐱 + 𝐰, 𝐰 \in W},

dove $x$ è il rappresentante della classe. Queste classi formano una partizione di $V$ , cioè sono digiunti:

(x + W) \cap (y + W) = \emptyset, \forall x, y \in V, x \neq y .

Tali classi laterali sono detti sottospazi affini di $V$ paralleli a $W$ , e i laterali destri $W + x$ e sinistri $x + W$ coincidono essendo il gruppo abeliano, cioè $x + W = W + x$ . Quindi $W$ è un sottogruppo normale ed ammette in questo caso:

| G / \sim_{\cdot H} | = | G / \sim_{H \cdot} | = [G : H] = \infty .

Allora definiamo lo spazio vettoriale quoziente (gruppo quoziente) come l'insieme di tutti questi sottospazi affini

G / \sim_{\cdot H} = G / \sim_{H \cdot} = V / W = {x + W | x \in V} .

In $ℝ^{3}$ questi sottospazi affini sono tutte le rette o piani paralleli al sottospazio con il vettore nullo $W$ , che sappiamo rappresentare una retta o un piano passante per l'origine. Ad esempio, consideriamo il piano $ℝ^{2}$ . Se $r$ denota una retta passante per l'origine $O,$ allora $r$ è un sottogruppo del gruppo abeliano $ℝ^{2}$ . Se $P$ è un punto di $ℝ^{2}$ , allora la classe laterale

P + r = r + P

indica il sottospazio rappresentato da una retta $r^{'}$ parallela a $r$ e passante per il punto $P .$

Gruppo generale lineare

Con $G L (n, K)$ oppure con ${G L}_{n} (K)$ si indica il gruppo delle matrici sopra un campo $K$ che sono invertibili. Questo esempio è preso dal gruppo generale lineare $G L (2, ℝ)$ . Ricordiamo che tale gruppo ha come legge di composizione interna l'usuale moltiplicazione riga per colonna di matrici

g_{1} g_{2} = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} a^{'} & b^{'} \\ c^{'} & d^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a a^{'} + b c^{'} & a b^{'} + b d^{'} \\ c a^{'} + d c^{'} & c b^{'} + d d^{'} \end{matrix}) \neq g_{2} g_{1}, \forall g_{1} g_{2} \in G

quindi un gruppo non abeliano e faremo vedere che ci sono sottogruppi normali e non. Tale gruppo ammette elemento neutro ed elemento inverso

I = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), A^{- 1} = \frac{1}{| A |} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})

Prendiamo come $G$ il particolare gruppo moltiplicativo delle matrici a due parametri (abbiamo due parametri noti $b = 0, d = 1$ ),

G = {g \in G | (\begin{matrix} a & 0 \\ c & 1 \end{matrix}) : a, c \in ℝ, a \neq 0},

e consideriamo come sottogruppo $H$ di $G$ ad un parametro (abbiamo tre parametri noti $b = 0, d = 1$ come prima e $a = 1$ ):

H = {(\begin{matrix} 1 & 0 \\ c^{'} & 1 \end{matrix}) : c^{'} \in ℝ} .

Fissiamo una matrice $2 \times 2$ da $G$ e vogliamo trovare la generica classe laterale sinistra rispetto H sapendo che non sono in numero finito come nel caso del gruppo S₃, cioè:

(\begin{matrix} a & 0 \\ c & 1 \end{matrix}) H = {(\begin{matrix} a & 0 \\ c & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ c^{'} & 1 \end{matrix}) : c^{'} \in ℝ} = {(\begin{matrix} a & 0 \\ c + c^{'} & 1 \end{matrix}) : c^{'} \in ℝ} = {(\begin{matrix} a & 0 \\ c^{'^{'}} & 1 \end{matrix}) : c^{'^{'}} \in ℝ}

mentre la generica classe laterale destra

H (\begin{matrix} a & 0 \\ c & 1 \end{matrix}) = {(\begin{matrix} 1 & 0 \\ c^{'} & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a & 0 \\ c & 1 \end{matrix}) : c^{'} \in ℝ} = {(\begin{matrix} a & 0 \\ c + a c^{'} & 1 \end{matrix}) : c^{'} \in ℝ} = {(\begin{matrix} a & 0 \\ c^{'^{'}} & 1 \end{matrix}) : c^{'^{'}} \in ℝ} = (\begin{matrix} a & 0 \\ c & 1 \end{matrix}) H .

Cioè le classi laterali sinistre sono costituite da tutte le matrici di $G$ che hanno lo stesso elemento in alto a sinistra come le classi laterali destre. Quindi il sottogruppo $H$ è normale in $G,$ mentre se consideriamo il sottogruppo

K = {(\begin{matrix} a^{'} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) : a^{'} \in ℝ - {0}}

essendo

(\begin{matrix} a & 0 \\ c & 1 \end{matrix}) K = {(\begin{matrix} a & 0 \\ c & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a^{'} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) : a^{'} \in ℝ - {0}} = {(\begin{matrix} a a^{'} & 0 \\ c a^{'} & 1 \end{matrix}) : a^{'} \in ℝ - {0}} = {(\begin{matrix} a^{'^{'}} & 0 \\ c^{'^{'}} & 1 \end{matrix}) : a^{'^{'}}, c^{'^{'}} \in ℝ - {0}}

K (\begin{matrix} a & 0 \\ c & 1 \end{matrix}) = {(\begin{matrix} a^{'} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a & 0 \\ c & 1 \end{matrix}) : a^{'} \in ℝ - {0}} = {(\begin{matrix} a a^{'} & 0 \\ c & 1 \end{matrix}) : a^{'} \in ℝ - {0}} = {(\begin{matrix} a^{'^{'}} & 0 \\ c & 1 \end{matrix}) : a^{'^{'}} \in ℝ - {0}}

ne concludiamo che le classi sinistre hanno due parametri variabili ( $a^{'^{'}}, c^{'^{'}}$ ), mentre quelle destre hanno un parametroo variabile ( $a^{'^{'}}$ ) e quindi

(\begin{matrix} a & 0 \\ c & 1 \end{matrix}) K \neq K (\begin{matrix} a & 0 \\ c & 1 \end{matrix}),

cioè $K$ è non normale in $G .$

Azione di gruppo e orbita

Un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ si utilizza per definire l'azione di $H$ su $G$ in due modi naturali. L'azione destra,

\begin{matrix} G \times H & \to G \\ (g, h) & \mapsto g h \end{matrix}

e l'azione sinistra,

\begin{matrix} H \times G & \to G \\ (h, g) & \mapsto h g . \end{matrix}

L'orbita dell'elemento $g \in G$ sotto l'azione destra coincide con la classe laterale sinistro $g H \subseteq G$ , mentre l'orbita sotto l'azione sinistra è il laterale destro $H g \subseteq G$ .

Note

Postille

↑ Un'altra notazione è $a + b$ e si hanno le scritture equivalenti
$H + a = {b \in G | b = h + a, h \in H} = {H ∋ h = b + (- a), b \in G}$

$a + H = {b \in G | b = a + h, h \in H} = {H ∋ h = (- a) + b, b \in G}$
↑
Ricordiamo la notazione:
- $H < G$ per indicare che $H$ è un sottogruppo improprio o banale di $G$ ;
- $H \leq G$ per indicare che $H$ è un sottogruppo proprio di $G$ ;
- $H ⊴ G, H ◃ G$ oppure $N ⊴ G, N ◃ G$ per indicare che $H$ è un sottogruppo normale di $G$ .
1 2 3 Quando $H = N$ s'intendono che sono sottogruppi normali.

Fonti

↑ Humphreys, J.F., Cp. VII
↑ Fraleigh, p. 117
↑ Fraleigh, p. 169
↑ Joshi, p. 323
↑ Rotman, p. 155
↑ Burton, pp. 128, 135
↑ Jacobson, p. 52

Bibliografia

(IT) Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti University Press, 2010, ISBN 978-88-6473-210-7, OCLC 956260268. URL consultato il 13 ottobre 2022.
(IT) Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 88-339-5586-9, OCLC 797301581. URL consultato il 13 ottobre 2022.
(EN) Serge Lang, Algebra, Revised Third Edition, 2002, ISBN 0-387-95385-X, OCLC 48176673. URL consultato il 13 ottobre 2022.
(EN) Humphreys, J.F., 7. Normal subgroups and quotient groups, in A Course in Group Theory, 1ª ed., OUP, 1996, ISBN 9780198534594.
(EN) John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 5ª ed., Addison-Wesley, 1994, ISBN 978-0-201-53467-2.
(EN) K. D. Joshi, §5.2 Cosets of Subgroups, in Foundations of Discrete Mathematics, New Age International, 1989, ISBN 81-224-0120-1.
(EN) Joseph J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra with Applications, 3ª ed., Prentice-Hall, 2006, ISBN 978-0-13-186267-8.
(EN) David M. Burton, Abstract Algebra, Wm. C. Brown Publishers, 1988, ISBN 0-697-06761-0.
(EN) Nathan Jacobson, Basic Algebra I, 2ª ed., Dover, 2009, ISBN 978-0-486-47189-1.

Collegamenti esterni

Classe laterale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Coset, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Coset in a group, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
Coset, in groupprops, The Group Properties Wiki.

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[1] Un'altra notazione è $a + b$ e si hanno le scritture equivalenti
$H + a = {b \in G | b = h + a, h \in H} = {H ∋ h = b + (- a), b \in G}$

$a + H = {b \in G | b = a + h, h \in H} = {H ∋ h = (- a) + b, b \in G}$

[2] Ricordiamo la notazione:
$H < G$ per indicare che $H$ è un sottogruppo improprio o banale di $G$ ;

$H \leq G$ per indicare che $H$ è un sottogruppo proprio di $G$ ;

$H ⊴ G, H ◃ G$ oppure $N ⊴ G, N ◃ G$ per indicare che $H$ è un sottogruppo normale di $G$ .

[mwA3A] $H < G$ per indicare che $H$ è un sottogruppo improprio o banale di $G$ ;

[mwA38] $H \leq G$ per indicare che $H$ è un sottogruppo proprio di $G$ ;

[mwA44] $H ⊴ G, H ◃ G$ oppure $N ⊴ G, N ◃ G$ per indicare che $H$ è un sottogruppo normale di $G$ .

[n-4] 1 2 3 Quando $H = N$ s'intendono che sono sottogruppi normali.

[3] Humphreys, J.F., Cp. VII

[5] Fraleigh, p. 117

[Fraleigh-6] Fraleigh, p. 169

[7] Joshi, p. 323

[8] Rotman, p. 155

[9] Burton, pp. 128, 135

[Jacobson-10] Jacobson, p. 52

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