Nucleo (matematica)

In matematica, in particolare nell'algebra, il nucleo di un omomorfismo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione; viene spesso indicato come $\ker (f)$ , dal tedesco Kern e dall'inglese kernel. Viene definito in modi diversi a seconda del contesto in cui è utilizzato; in generale è legato al concetto di funzione iniettiva. Uno dei casi più significativi è quello di mappe lineari tra gruppi o spazi vettoriali: il nucleo è l'insieme degli elementi del dominio aventi immagine nulla, cioè l'insieme degli elementi che vengono mandati in zero dall'applicazione.

Si tratta di uno zero-insieme. Il nucleo è un sottoinsieme del dominio della funzione. Eredita le stesse proprietà algebriche dello spazio in cui vive, ed è strettamente collegato all'immagine della funzione, siccome generalmente nucleo e immagine si comportano in maniera complementare.

Definizione

Omomorfismi

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi $f : X \to Y$ è il sottoinsieme di $X$ costituito dai punti che vengono portati dalla funzione nell'elemento neutro di $Y$ :

\ker (f) := {x \in X : f (x) = 0_{Y}} .

In altre parole, il nucleo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione.

Il nucleo è sempre un sottogruppo di $X$ ; in particolare contiene sempre l'elemento neutro di $X$ . Nel caso in cui $X$ sia uno spazio vettoriale (che è un gruppo rispetto all'addizione) e $f$ sia una applicazione lineare (quindi un omomorfismo tra i rispettivi gruppi additivi), il nucleo $\ker (f)$ è un sottospazio vettoriale di $X$ (oltre ad esserne un sottogruppo).

Matrici

Sia $A$ una matrice di tipo $m \times n$ con elementi in un campo $K$ . Il nucleo di $A$ è l'insieme dei vettori $v$ in $K^{n}$ tali che:

A v = 0.

Questa definizione è coerente con la precedente nel caso l'applicazione sia lineare:

\begin{matrix} L_{A} : K^{n} & \to K^{m} \\ v & \mapsto A v \end{matrix}

e il nucleo di $A$ così definito è il nucleo di $L_{A}$ . In modo equivalente:

\ker A := {v \in K^{n} : A v = 0} .

Il nucleo di $A$ è un sottospazio vettoriale di $K^{n}$ , la cui dimensione è chiamata la nullità di $A$ .

Proprietà

Gruppi

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi $f : G \to H$ è un sottogruppo normale. Il gruppo quoziente:

G /_{\ker f}

è quindi ben definito. Per il primo teorema di isomorfismo, questo gruppo è naturalmente isomorfo all'immagine di $f$ .

D'altra parte, ogni sottogruppo normale $N$ di un gruppo $G$ è nucleo di una applicazione lineare. L'applicazione è la proiezione sul sottogruppo quoziente:

π : G \to G / N .

Iniettività

Sia $f$ un endomorfismo fra spazi vettoriali. La funzione $f$ è iniettiva se e solo se il suo nucleo è costituito soltanto dall'elemento neutro. L'ipotesi di linearità per $f$ è essenziale: poiché $f (0) = 0$ , l'iniettività di $f$ implica che il nucleo consiste del solo elemento neutro 0. L'implicazione opposta è però meno immediata. Si supponga per ipotesi che il nucleo di $f$ consista del solo elemento neutro 0, allora se:

f (v) = f (w)

per la linearità si ha:

f (v) - f (w) = f (v - w) = 0

e quindi $v - w = 0$ per ipotesi. In altre parole $v = w$ , e la funzione è effettivamente iniettiva.

Teorema del rango

Sia $f$ un'applicazione fra spazi vettoriali $f : V \to W$ . Le dimensioni del nucleo e dell'immagine di $f$ sono collegate tramite la seguente uguaglianza:

\dim V = \dim \ker f + \dim im f .

La nullità di una matrice $A$ può essere calcolata facendo uso del teorema del rango. In questo contesto la formula si traduce nel modo seguente:

n = null (A) + rk (A) .

Nell'equazione, $n$ è il numero di colonne di $A$ , $null (A)$ è l'indice di nullità e $rk (A)$ è il rango di $A$ . Il calcolo della nullità si riduce quindi al calcolo del rango, per il quale esistono vari algoritmi. I metodi più noti fanno uso del determinante o dell'algoritmo di Gauss.

Teoria degli insiemi

Nell'ambito più generale di teoria degli insiemi, il nucleo di una funzione dall'insieme $X$ all'insieme $Y$ è definito alternativamente come la relazione d'equivalenza che lega gli elementi caratterizzati dalla stessa immagine o come la partizione che tale relazione genera in $X$ .

Nei due casi, viene dunque definito simbolicamente da:

\ker f := {(x, x^{'}) \in X \times X : f (x) = f (x^{'})}

e da:

\ker f := {{w \in X : f (x) = f (w)}, x \in X} .

L'insieme quoziente $X / \ker (f)$ , detto anche coimmagine di $f$ , è naturalmente isomorfo all'immagine di $f$ . La funzione risulta iniettiva se e solo se tale nucleo è la "diagonale" in $X \times X$ . Immergendosi in morfismi tra strutture algebriche, la definizione risulta coerente con quella data sopra.

Esempi

Data la matrice:

A = [\begin{matrix} \sin (x) & - \cos (x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

dove $x$ è un qualsiasi numero reale, il nucleo dell'applicazione lineare associata ad $A$ è l'insieme di vettori del tipo:

\ker A = {[\begin{matrix} λ \cos (x) & λ \sin (x) & 0 \end{matrix}] | λ \in ℝ}

come si vede facendo il prodotto matriciale tra $A$ e il vettore colonna $v_{λ} = (λ \cos (x), λ \sin (x), 0)^{T}$ .

Note

↑ Hoffman, Kunze, Pag. 71.
↑ Serge Lang, Algebra lineare, Bollati Boringhieri, 1970, p. 71, ISBN 88-339-5035-2, OCLC 797168806. URL consultato l'8 gennaio 2022.
↑ S. Lang, Pag. 92.

Bibliografia

Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Kernel, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) M. Hazewinkel, Kernel of a matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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[1] Hoffman, Kunze, Pag. 71.

[2] Serge Lang, Algebra lineare, Bollati Boringhieri, 1970, p. 71, ISBN 88-339-5035-2, OCLC 797168806. URL consultato l'8 gennaio 2022.

[3] S. Lang, Pag. 92.

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