Forma bilineare

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In matematica, più precisamente in algebra lineare, una forma bilineare è una mappa bilineare a valori in un campo. Si tratta di una funzione definita sul prodotto cartesiano di due spazi vettoriali che è lineare in entrambe le componenti.

Definizione

Siano ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ spazi vettoriali su ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle V\times W}$ il loro prodotto cartesiano. Una forma bilineare sul campo ${\displaystyle K}$ è una mappa

${\displaystyle \phi \colon V\times W\to K}$

che associa ad ogni coppia di elementi ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ e ${\displaystyle \mathbf {w} \in W}$ lo scalare ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\in K}$ ed è lineare su entrambe le componenti, cioè:

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2},\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} _{1},\mathbf {w} )+\phi (\mathbf {v} _{2},\mathbf {w} ),\qquad \forall \ \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in V,\quad \forall \ \mathbf {w} \in W,}$

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})=\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{1})+\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{2}),\qquad \forall \ \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}\in W,\quad \forall \ \mathbf {v} \in V,}$

${\displaystyle \phi (a\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} ,a\mathbf {w} )=a\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} ),\qquad \forall \ \mathbf {v} \in V,\quad \forall \ \mathbf {w} \in W,\quad \forall \ a\in K.}$

Fissato uno dei due argomenti, la funzione è lineare rispetto all'altro.

Se ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ coincidono, la forma si dice bilineare su ${\displaystyle V}$ (o su ${\displaystyle W}$).

Rappresentazione in coordinate

Se ${\displaystyle V}$ ha dimensione ${\displaystyle n}$ finita, ogni forma bilineare ${\displaystyle \phi }$ su ${\displaystyle V}$ può essere rappresentata come una matrice quadrata di ordine ${\displaystyle n.}$ Come per le applicazioni lineari, per fare ciò è necessario scegliere una base ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ per ${\displaystyle V}$, in quanto la matrice risultante dipende dalla base scelta.

La matrice ${\displaystyle B}$ è definita per elementi da:

${\displaystyle b_{ij}=\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j}).}$

L'azione della forma bilineare su due vettori ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e ${\displaystyle \mathbf {w} }$ di ${\displaystyle V}$ si ricava nel modo seguente, tramite moltiplicazione tra matrici:

${\displaystyle \phi (\mathbf {u} ,\mathbf {w} )=\mathbf {\mathbf {u} } ^{T}\mathbf {B\mathbf {w} } =\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}u_{i}w_{j}}$

dove ${\displaystyle u_{i}}$ e ${\displaystyle w_{j}}$ sono le coordinate di ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e ${\displaystyle \mathbf {w} }$ rispetto alla base.

Relazione con lo spazio duale

Ogni forma bilineare ${\displaystyle \phi }$ su ${\displaystyle V}$ definisce una coppia di mappe lineari da ${\displaystyle V}$ nel suo spazio duale ${\displaystyle V^{*}}$. Si definiscano nel modo seguente:

${\displaystyle \phi _{1}\colon V\to V^{*},\qquad \phi _{1}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} ),}$

${\displaystyle \phi _{2}\colon V\to V^{*},\qquad \phi _{2}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} ).}$

In altre parole, ${\displaystyle \phi _{1}(\mathbf {v} )}$ è l'elemento di ${\displaystyle V^{*}}$ che manda ${\displaystyle \mathbf {w} }$ in ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$.

Per denotare la posizione dell'argomento nella mappa lineare risultante, si usa la notazione:

${\displaystyle \phi _{1}(\mathbf {v} )=\phi (\mathbf {v} ,\cdot ),}$

${\displaystyle \phi _{2}(\mathbf {v} )=\phi (\cdot ,\mathbf {v} ).}$

Ogni mappa lineare ${\displaystyle T\colon V\to V^{*}}$ definisce analogamente una funzione bilineare:

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=T(\mathbf {v} )(\mathbf {w} ).}$

Forme simmetriche e antisimmetriche

Una forma bilineare ${\displaystyle \phi \colon V\times V\to K}$ è detta simmetrica se:

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )}$

per ogni ${\displaystyle \mathbf {v} }$ e ${\displaystyle \mathbf {w} }$ in ${\displaystyle V}$. È invece detta antisimmetrica se:

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=-\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} ).}$

Una forma bilineare ${\displaystyle \phi }$ è simmetrica se e solo se la matrice associata ${\displaystyle B}$ (rispetto ad una base qualsiasi) è simmetrica, ed è antisimmetrica se e solo se la matrice associata è antisimmetrica.

Se la forma bilineare è simmetrica, le due mappe ${\displaystyle \phi _{1}}$ e ${\displaystyle \phi _{2}}$ definite sopra coincidono.

Se ${\displaystyle K}$ non ha caratteristica 2, allora una caratterizzazione equivalente di una forma antisimmetrica è:

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0}$

per ogni ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$. In caso contrario, la condizione precedente è solo sufficiente.

Prodotto scalare

Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotto scalare.

Una forma bilineare simmetrica è spesso chiamata prodotto scalare. Altri autori definiscono invece il prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica a valori nel campo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dei numeri reali che sia definita positiva, ovvero con ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )>0}$ per ogni ${\displaystyle \mathbf {v} }$ diverso da zero, e ${\displaystyle \phi (\mathbf {0} ,\mathbf {0} )=0}$.

Forma degenere

Una forma bilineare ${\displaystyle \phi }$ definita su uno spazio ${\displaystyle V}$ di dimensione finita è degenere se la matrice ${\displaystyle B}$ che la rappresenta rispetto ad una base ha determinante nullo. Altrimenti, è detta non degenere. La definizione non dipende dalla base scelta per rappresentare la forma come matrice.

I fatti seguenti sono equivalenti:

• La forma bilineare ${\displaystyle \phi }$ è degenere.
• Esiste un vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$ non nullo tale che ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0}$ per ogni ${\displaystyle \mathbf {w} }$.
• Esiste un vettore ${\displaystyle \mathbf {w} }$ non nullo tale che ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0}$ per ogni ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

Radicale di una forma bilineare

Sia ${\displaystyle b}$ una forma bilineare, il radicale di tale forma è il sottospazio di ${\displaystyle V}$ costituito dai vettori che sono ${\displaystyle b}$-ortogonali a tutti i vettori di ${\displaystyle V}$.

In simboli, ${\displaystyle \operatorname {rad} (b):=\{w\in V\mid b(v,w)=0,\ \forall v\in V\}}$.

Proposizione. Siano ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale a dimensione finita su un campo ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ una base di ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle A}$ una matrice simmetrica di Gram associata a una forma bilineare ${\displaystyle b}$ rispetto alla base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. Sotto queste condizioni, il radicale di tale forma in coordinate rispetto alla base scelta è il nucleo dell'applicazione associata alla matrice ${\displaystyle A}$, ossia ${\displaystyle \operatorname {ker} L_{A}=\operatorname {rad} (b)}$.

Esempi

• Il prodotto scalare canonico fra vettori del piano o dello spazio euclideo è una forma bilineare simmetrica.
• Sia ${\displaystyle C[0,1]}$ lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$, a valori reali. Un esempio di forma bilineare simmetrica definita su ${\displaystyle C[0,1]}$ è data da:

${\displaystyle \phi (f,g)=\int _{0}^{1}f(x)g(x)dx.}$

Note

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

Voci correlate

• Forma quadratica
• Forma sesquilineare
• Prodotto scalare
• Spazio duale
• Trasformazione lineare
• Matrice di Gram

Altri progetti

• Wikiversità contiene risorse sulla forma bilineare
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla forma bilineare

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Bilinear Form, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Forma bilineare, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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