Teorema di Binet

In algebra lineare, il teorema di Binet è un teorema che collega il prodotto fra matrici quadrate con il determinante.

Il teorema viene generalizzato dalla formula di Cauchy-Binet.

Il teorema

Siano $A$ e $B$ due matrici quadrate con lo stesso numero di righe, a valori in un campo $K$ .

Il determinante del prodotto tra $A$ e $B$ è il prodotto del determinante di $A$ per il determinante di $B$ :

det (A \cdot B) = det A \cdot det B .

Dimostrazione

Si ricordi che il determinante può essere considerato come una forma multilineare alternante $det (c_{1}, \dots, c_{n})$ sulle colonne di una matrice quadrata $n \times n$ ; l'unica per cui $det (e_{1}, \dots, e_{n}) = 1,$ dove $e_{1}, \dots, e_{n}$ è la base canonica di $K^{n}$ . Il teorema di Binet segue dal fatto che le forme multilineari alternanti costituiscono uno spazio vettoriale unidimensionale, e che la funzione $ϕ (X) = det (A \cdot X)$ è una forma multilineare alternante.

Lemma 1

Tutte le forme multilineari alternanti sono multiple del determinante.

Dimostrazione del lemma 1

Sia $f : K^{n} \times \dots \times K^{n} \to K$ una forma multilineare e alternante. Sia $e_{1}, \dots, e_{n}$ la base canonica di $K^{n}$ . Dati i vettori $v_{1}, \dots, v_{n} \in K^{n}$ tali che ogni $v_{j}$ ha coordinate canoniche $c_{j, 1}, \dots, c_{j, n}$ . Per multilinearità vale:

f (v_{1}, \dots, v_{n}) = f (\sum_{j_{1} = 1}^{n} c_{1, j_{1}} e_{j_{1}}, \dots, \sum_{j_{n} = 1}^{n} c_{n, j_{n}} e_{j_{n}}) = \sum_{j_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{j_{n} = 1}^{n} (\prod_{k = 1}^{n} c_{k, j_{k}}) f (e_{j_{1}}, \dots, e_{j_{n}}) .

Poiché la forma è anche alternante, quando $j_{1}, \dots, j_{n}$ non sono tutti distinti, si ha che $f (e_{j_{1}}, \dots, e_{j_{n}}) = 0$ . Possiamo quindi riscrivere l'equazione considerando soltanto i casi in cui $j_{1}, \dots, j_{n}$ sono distinti, ossia sono una permutazione di $1, \dots, n$ . Indicando con $S_{n}$ il gruppo simmetrico di $1, \dots, n$ abbiamo:

f (v_{1}, \dots, v_{n}) = \sum_{σ \in S_{n}} (\prod_{k = 1}^{n} c_{k, σ (k)}) f (e_{σ (1)}, \dots, e_{σ (n)}) .

Considerando che ogni forma alternante è anche antisimmetrica si possono riordinare gli argomenti di $f$ nel seguente modo:

f (v_{1}, \dots, v_{n}) = \sum_{σ \in S_{n}} (\prod_{k = 1}^{n} c_{k, σ (k)}) sgn (σ) f (e_{1}, \dots, e_{n}) = f (e_{1}, \dots, e_{n}) det (C),

dove $C$ è la matrice che ha per colonne le coordinate canoniche di $v_{1}, \dots, v_{n}$ . Dunque

f (v_{1}, \dots, v_{n}) = f (e_{1}, \dots, e_{n}) det (v_{1}, \dots, v_{n}) .

Il risultato dell'applicazione della forma multilineare alternante alla base canonica determina la forma in modo univoco.

Dimostrazione del teorema

Sia $ϕ (X) = det (A \cdot X)$ . Occorre dimostrare che è una forma multilineare alternante sulle colonne di $X$ .

Per le regole della moltiplicazione tra matrici, siano $x_{1}, \dots, x_{n}$ le colonne di $X$ , allora la colonna $j$ di $A \cdot X$ è uguale a $A x_{j}$ e, considerando $ϕ$ e $det$ come forme sulle colonne si può scrivere $ϕ (x_{1}, \dots, x_{n}) = det (A x_{1}, \dots, A x_{n}) .$

Quindi:

$ϕ$ è multilineare, infatti siano $λ \in K$ , $a, b \in K^{n}$ , vale

ϕ (\dots, λ a + b, \dots) = det (\dots, A (λ a + b), \dots) = λ det (\dots, A a, \dots) + det (\dots, A b, \dots) = λ ϕ (\dots, a, \dots) + ϕ (\dots, b, \dots) .

$ϕ$ è alternante, infatti $ϕ (\dots, a, \dots, a, \dots) = det (\dots, A a, \dots, A a, \dots) = 0.$

Quindi

det (A \cdot B) = ϕ (B) = ϕ (I_{n}) det (B) = det (A \cdot I_{n}) \cdot det (B) = det (A) \cdot det (B) .

Applicazioni

Una matrice è invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Infatti:
- se $A$ è invertibile allora esiste $B$ tale che $A B = I$ , e quindi $det (A) * det (B) = det (I) = 1$ , e quindi $det (A)$ non è zero.
- se $det (A)$ non è zero l'algoritmo di Gauss permette di trovare un'inversa.
Se $A$ è invertibile, allora:

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

Il determinante è invariante per similitudine: infatti

det (M A M^{- 1}) = det M \cdot det A \cdot det M^{- 1} = det A

Il determinante di un endomorfismo $f : V \to V$ (dove $V$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita), definito come il determinante di una matrice associata rispetto ad una base $B$ , in realtà non dipende dalla scelta di $B$ : è quindi una grandezza intrinseca di $f$ , che indichiamo con $det (f)$ .
Il determinante di un'isometria $f : V \to V$ ha norma 1. Quindi se $K = ℝ$ il determinante di una isometria è 1 oppure -1.

Bibliografia

(EN) Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorems, pp 208–14, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5.

Voci correlate

Collegamenti esterni

Binet, teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

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