Formula di Grassmann

In matematica, la formula di Grassmann è una relazione che riguarda le dimensioni dei sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale o dei sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo.

La formula di Grassmann, il cui nome è stato scelto in onore del matematico tedesco Hermann Grassmann, afferma inoltre che i sottospazi di uno spazio vettoriale muniti delle operazioni binarie + e $\cap$ costituiscono un reticolo modulare.

Enunciato

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ dotato di dimensione finita, cioè dotato di una base finita. Siano $W$ e $U$ due sottospazi di $V$ . Indicando con $W + U$ il sottospazio somma di $W$ e $U$ dato da:

W + U := {𝐰 + 𝐮 | 𝐰 \in W, 𝐮 \in U}

e con $W \cap U$ il loro sottospazio intersezione, la formula di Grassmann afferma che:

\dim (W + U) = \dim (W) + \dim (U) - \dim (W \cap U)

Somma diretta

Due sottospazi $U$ e $W$ sono in somma diretta se $U \cap W = {0}$ . In questo caso la formula di Grassmann asserisce che:

\dim (U + W) = \dim (U) + \dim (W)

Se inoltre $V = U + W$ , si dice che $V$ si decompone in somma diretta di $U$ e $W$ e si scrive:

V = U \oplus W

In questo caso il sottospazio $W$ è un supplementare di $U$ (e viceversa).

Ad esempio, lo spazio $M (n)$ delle matrici quadrate $n \times n$ a coefficienti in un campo $K$ si decompone nei sottospazi delle matrici simmetriche e delle antisimmetriche:

M (n) = S (n) \oplus A (n)

La formula di Grassmann porta all'uguaglianza concernente le dimensioni dei due sottospazi della forma:

n^{2} = \frac{n (n + 1)}{2} + \frac{n (n - 1)}{2}

Dimostrazione

Struttura della dimostrazione

La formula si dimostra individuando due basi per $W$ e $U$ che hanno in comune i vettori che costituiscono una base per la loro intersezione. Più precisamente, si prende una base $B$ per $W \cap U$ , e si completa ad una base $B \cup B_{U}$ di $U$ , e ad una base $B \cup B_{W}$ di $W$ . I vettori in:

B \cup B_{U} \cup B_{W}

generano lo spazio $U + W$ , si verifica che sono indipendenti, e quindi sono una base per $U + W$ . Un conteggio degli elementi nelle tre basi trovate fornisce la formula di Grassmann.

Verifica dell'indipendenza lineare

L'unico fatto che necessita di una dimostrazione approfondita è l'indipendenza dei vettori in:

B \cup B_{U} \cup B_{W}

che viene mostrata nel modo seguente. Sia:

B = {𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{d}}, B_{U} = {𝐮_{1}, \dots, 𝐮_{s}}, B_{W} = {𝐰_{1}, \dots, 𝐰_{t}}

Si supponga l'esistenza di una combinazione lineare nulla:

λ_{1} 𝐯_{1} + \dots λ_{d} 𝐯_{d} + μ_{1} 𝐮_{1} + \dots + μ_{s} 𝐮_{s} + γ_{1} 𝐰_{1} + \dots + γ_{t} 𝐰_{t} = 0

In altre parole, raggruppando:

𝐯 = λ_{1} 𝐯_{1} + \dots λ_{d} 𝐯_{d}, 𝐮 = μ_{1} 𝐮_{1} + \dots + μ_{s} 𝐮_{s}, 𝐰 = γ_{1} 𝐰_{1} + \dots + γ_{t} 𝐰_{t}

si ottiene:

𝐯 + 𝐮 + 𝐰 = 0

Da questo segue che $𝐰 = - 𝐯 - 𝐮$ , e poiché sia $𝐯$ che $𝐮$ appartengono a $U$ , ne segue che anche $𝐰$ appartiene a $U$ . Quindi $𝐰$ appartiene all'intersezione $U \cap W$ , e si scrive come combinazione lineare di elementi di $B$ . D'altra parte, come elemento di $W$ , è descritto come combinazione lineare di elementi di $B_{W}$ : poiché ogni elemento ha un'unica descrizione come combinazione lineare di elementi di una base, ne segue che entrambe queste combinazioni hanno tutti i coefficienti nulli. Quindi:

γ_{1} = \dots = γ_{t} = 0, 𝐰 = 0

Si ottiene quindi $𝐯 + 𝐮 = 0$ . Poiché i vettori $B \cup B_{U}$ sono una base di $U$ , sono quindi indipendenti, e ne segue che anche:

λ_{1} = \dots = λ_{d} = 0, μ_{1} = \dots = μ_{s} = 0

Quindi i coefficienti sono tutti nulli, e l'insieme:

B \cup B_{U} \cup B_{W}

è formato da elementi indipendenti, ed è quindi una base.

Conteggio dimensioni

Usando le notazioni appena introdotte, il conteggio delle dimensioni dà proprio:

\dim (U + W) = d + s + t = (d + s) + (d + t) - d = \dim U + \dim W - \dim (U \cap W)

Dimostrazione alternativa

Si consideri la funzione:

f : U \times W \to U + W : (u, w) \mapsto 𝐮 + 𝐰

che si verifica essere un'applicazione lineare. Si ha:

i m (f) = U + W \ker (f) = {(𝐯, - 𝐯) : 𝐯 \in U \cap W}

Il nucleo è uno spazio vettoriale isomorfo a $U \cap W$ , e l'isomorfismo è dato da:

ϕ : \ker (f) \to U \cap W : (𝐯, - 𝐯) \mapsto 𝐯

Si ha quindi:

\dim (U + W) + \dim (U \cap W) = \dim (i m (f)) + \dim (\ker (f))

= \dim (U \times W) = \dim (U) + \dim (W)

dove si è applicato il teorema del rango più nullità.

Dimostrazione con il teorema di isomorfismo

La formula di Grassmann può essere vista come corollario del secondo teorema di isomorfismo:

U + W / W ≅ U / U \cap W

con $U$ e $W$ visti come gruppi (notazione additiva), e dove con $/$ si intende l'ordinario quoziente insiemistico. Infatti si ha:

\dim (U + W / W) = \dim (U / U \cap W)

\dim (U + W) - \dim (W) = \dim (U) - \dim (U \cap W)

che è la formula di Grassmann.

Esempi

Questa formula si visualizza facilmente e significativamente nel caso in cui $V$ sia lo spazio vettoriale tridimensionale sui reali $ℝ^{3}$ ; le possibilità per i sottospazi portano alla seguente casistica:

Uno dei due sottospazi $W$ o $U$ ha dimensione 0 o 3: in questo caso (a meno di scambiare i nomi dei due sottospazi) si ha $W + U = U$ e $W \cap U = W$ e la formula si riduce a una identità.
W e U sono sottospazi di dimensione 1 (cioè rette passanti per l'origine):
- se le rette sono distinte $W \cap U$ contiene solo il vettore nullo ed ha dimensione 0 e $W + U$ è il piano contenente le due rette, per cui la formula si riduce a 1 + 1 = 2 + 0.
- se coincidono $W + U = W = U = W \cap U$ e ancora si ha una identità.
W è una retta per l'origine e U un piano per l'origine:
- se la retta non giace nel piano si ha: 1 + 2 = 3 + 0;
- se la retta giace nel piano: 1 + 2 = 2 + 1.
W e U sono piani per l'origine:
- se non coincidono la loro intersezione è una retta e si ha: 2 + 2 = 3 + 1;
- se coincidono si ha un'identità che numericamente afferma: 2 + 2 = 2 + 2.

Note

↑ S. Lang, Pag. 52.
↑ Hoffman, Kunze, Pag. 46.

Bibliografia

Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

Voci correlate

Collegamenti esterni

Grassmann, formula di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

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[1] S. Lang, Pag. 52.

[2] Hoffman, Kunze, Pag. 46.

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