Matrice normale

In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata a valori complessi $A$ è una matrice normale se:

A^{†} A = A A^{†}

dove $A^{†}$ è la matrice trasposta coniugata di $A$ . Ovvero, una matrice normale è una matrice che commuta con la sua trasposta coniugata. Se $A$ è una matrice reale, allora $A^{†}$ è semplicemente uguale alla trasposta di $A$ .

Le matrici normali sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali complesse.

Il concetto di matrice normale può essere generalizzato agli operatori normali sugli spazi di Hilbert e agli elementi normali nelle C*-algebre.

Proprietà

Le matrici normali sono le matrici a cui si applica il teorema spettrale: possono essere rappresentate da una matrice diagonale rispetto a una base ortonormale di $ℂ^{n}$ opportunamente scelta. In altri termini, una matrice è normale se e solo se i suoi autospazi generano $ℂ^{n}$ e sono ortogonali a due a due rispetto all'usuale prodotto scalare di $ℂ^{n}$ .

In generale, la somma o il prodotto di due matrici normali non è necessariamente normale. Tuttavia, se $A$ e $B$ sono normali con $A B = B A$ , allora sia $A B$ che $A + B$ sono normali e inoltre è possibile diagonalizzare simultaneamente $A$ e $B$ nel seguente senso: esiste una matrice unitaria $U$ tale che $U A U^{†}$ e $U B U^{†}$ sono entrambe matrici diagonali. In questo caso, le colonne di $U^{†}$ sono autovettori sia di $A$ che di $B$ e formano una base ortonormale di $ℂ^{n}$ .

Se $A$ è una matrice normale invertibile, allora esiste una matrice unitaria $U$ e una matrice definita positiva $R$ tale che $A = R U = U R$ . Le matrici $R$ e $U$ sono unicamente determinate da $A$ . Questa affermazione può essere vista come un analogo (e una generalizzazione) della rappresentazione polare dei numeri complessi non nulli.

Tutte le matrici unitarie, hermitiane, antihermitiane e definite positive sono normali. Se $A$ è unitaria $A^{†} A = A A^{†} = I$ . Se $A$ è hermitiana, allora $A^{†} = A$ e quindi $A^{†} A = A A = A A^{†}$ . Tuttavia non tutte le matrici normali sono unitarie, hermitiane, o definite positive.

Relativamente allo spettro di $A$ , si ha che una matrice è normale se e solo se:

σ_{i} (A) = | λ_{i} (A) | \forall i = 1 \dots n

dove $σ_{1} (A) \geq \dots \geq σ_{n} (A)$ sono i valori singolari di $A$ e $| λ_{1} (A) | \geq \dots \geq | λ_{n} (A) |$ gli autovalori di $A$ .

Un'altra condizione necessaria e sufficiente è che la norma di Frobenius di $A$ può essere calcolata con i suoi autovalori:

tr (A^{*} A) = \sum_{j}^{n} | λ_{j} |^{2}

La norma operatoriale di una matrice normale $N$ , inoltre, è pari al suo raggio spettrale:

sup_{‖ x ‖ = 1} ‖ N x ‖ = sup_{‖ x ‖ = 1} | ⟨ N x, x ⟩ | = max {| λ | : λ \in σ (N)}

dove $σ (N)$ è lo spettro di $N$ .

Esempio

La matrice:

(\begin{matrix} - i & - i & 0 \\ - i & i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

è normale poiché:

(\begin{matrix} - i & - i & 0 \\ - i & i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) {(\begin{matrix} - i & - i & 0 \\ - i & i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})}^{†} = (\begin{matrix} - i & - i & 0 \\ - i & i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} i & i & 0 \\ i & - i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} i & i & 0 \\ i & - i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} - i & - i & 0 \\ - i & i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = {(\begin{matrix} - i & - i & 0 \\ - i & i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})}^{†} (\begin{matrix} - i & - i & 0 \\ - i & i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

ma non è unitaria, né hermitiana, né definita positiva.

Bibliografia

(EN) Roger A. Horn e Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991, p. 157, ISBN 978-0-521-30587-7.
(EN) Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Normal Matrix, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Normal matrix, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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