Matrice unitaria

In matematica, una matrice unitaria è una matrice quadrata complessa $U$ che soddisfa la condizione:

U^{†} U = U U^{†} = I

dove $I$ è la matrice identità e $U^{†}$ è la matrice trasposta coniugata di $U$ .

La definizione equivale a dire che una matrice $U$ è unitaria se è invertibile e la sua inversa $U^{- 1}$ è uguale alla sua coniugata trasposta:

U^{- 1} = U^{†}

Una matrice è inoltre unitaria se è una matrice normale con autovalori sulla circonferenza unitaria, oppure se è un'isometria rispetto alla norma usuale. Una matrice unitaria avente tutti gli elementi reali è una matrice ortogonale.

Le matrici unitarie rappresentano gli operatori unitari su spazi di Hilbert finito-dimensionali (costituiscono quindi un caso particolare).

Proprietà

Le matrici unitarie soddisfano le seguenti proprietà:

Ogni matrice unitaria $U$ soddisfa l'uguaglianza:

⟨ U x, U y ⟩ = ⟨ x, y ⟩

per tutti i vettori complessi

x

e

y

, dove

⟨, ⟩

indica il prodotto hermitiano standard.

Tutti gli autovalori di una matrice unitaria sono numeri complessi di valore assoluto $1$ , cioè stanno sulla circonferenza di raggio $1$ centrata nell'origine del piano complesso. La stessa cosa è vera per il determinante.

Tutte le matrici unitarie sono normali, e pertanto si può applicare ad esse il teorema spettrale.

Una matrice è unitaria se e solo se le sue colonne (o le sue righe) formano una base ortonormale dello spazio rispetto al prodotto hermitiano standard. Per mostrare l'implicazione diretta, se si suppone che $U$ è unitaria allora $U^{†} U = U U^{†} = I_{n}$ . Sia quindi $c_{i}$ un suo vettore colonna (o vettore riga) corrispondente alla i-esima colonna (o riga), e sia:

U^{†} U = [\begin{matrix} c_{1}^{†} c_{1} & c_{1}^{†} c_{2} & \dots & c_{1}^{†} c_{n} \\ c_{2}^{†} c_{1} & c_{2}^{†} c_{2} & \dots & c_{2}^{†} c_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{n}^{†} c_{1} & c_{n}^{†} c_{2} & \dots & c_{n}^{†} c_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix}] = I_{n}

Vedendo questa matrice come prodotto interno, cioè $(U^{†} U)_{i j} = ⟨ c_{i}, c_{j} ⟩$ , si ha che:

se $i = j$ allora $⟨ c_{i}, c_{j} ⟩ = ⟨ c_{i}, c_{i} ⟩ = 1$ , ma allora $‖ c_{i} ‖ = 1$ .
se $i \neq j$ , allora $⟨ c_{i}, c_{j} ⟩ = 0$ , ma allora $c_{i}$ è ortogonale ad $c_{j}$ .

Essendo contemporaneamente ortogonale e di norma unitaria significa che $U$ è una base ortonormale.

Per mostrare l'implicazione inversa, si supponga che le colonne (o le sue righe) formano una base ortonormale dello spazio rispetto al prodotto interno. Se le colonne (o le righe) di $U$ sono ortonormali allora significa che $⟨ c_{i}, c_{j} ⟩ = 0$ ad eccezione di quando $i = j$ , dove si ha $⟨ c_{i}, c_{j} ⟩ = 1$ . Si ha quindi:

U_{i j} = (U U^{†})_{i j} = (U^{†} U)_{i j} = {\begin{matrix} c_{i}^{†} c_{j} = 1 & s e i = j \\ c_{i}^{†} c_{j} = 0 & s e i \neq j \end{matrix}

Ma questa è proprio la definizione di matrice identità $I_{n}$ , che è unitaria.

Bibliografia

(EN) W. Noll, Finite dimensional spaces , M. Nijhoff (1987) pp. 63
(EN) W.H. Greub, Linear algebra , Springer (1975) pp. 329

Voci correlate

Collegamenti esterni

matrice unitaria, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Unitary Matrix, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Matrice unitaria, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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