Norma operatoriale

In matematica, la norma operatoriale di un operatore lineare è la norma definita sullo spazio degli operatori limitati lineari tra spazi vettoriali normati.

Definizione

Considerando due spazi normati $V$ e $W$ sul medesimo campo $ℝ$ o $ℂ$ , una trasformazione lineare $A : V \to W$ è continua se e solo se esiste un numero reale $c$ tale per cui:

‖ A v ‖_{W} \leq c ‖ v ‖_{V} \forall v \in V

Intuitivamente, l'operatore $A$ non "allunga" mai i vettori su cui agisce di un fattore maggiore di $c$ . In questo modo, l'immagine di un insieme limitato è limitata. Da questo fatto segue che gli operatori lineari continui sono anche detti operatori limitati.

La norma operatoriale è definita considerando il più piccolo $c$ tale per cui la precedente uguaglianza vale per ogni $v$ :

‖ A ‖_{o p} = min {c \geq 0 : ‖ A v ‖ \leq c ‖ v ‖ per ogni v \in V}

dove il minimo esiste sempre grazie al fatto che tale insieme è chiuso, limitato e non vuoto.

Si può mostrare che le seguenti definizioni sono equivalenti a quella data:

\begin{matrix} ‖ A ‖_{o p} & = sup {‖ A v ‖ : v \in V con ‖ v ‖ \leq 1} \\ = sup {‖ A v ‖ : v \in V con ‖ v ‖ < 1} \\ = sup {‖ A v ‖ : v \in V con ‖ v ‖ = 1} \\ = sup {\frac{‖ A v ‖}{‖ v ‖} : v \in V con v \neq 0} \end{matrix}

Proprietà

La norma operatoriale è una norma definita sullo spazio degli operatori limitati da $V$ in $W$ , che significa:

$‖ A ‖_{o p} \geq 0$ e $‖ A ‖_{o p} = 0$ se e solo se $A = 0$ .
Si verifica:

‖ a A ‖_{o p} = | a | ‖ A ‖_{o p} \forall a

dove

a

è uno scalare.

Valgono le disuguaglianze:

‖ A + B ‖_{o p} \leq ‖ A ‖_{o p} + ‖ B ‖_{o p} ‖ A v ‖ \leq ‖ A ‖_{o p} ‖ v ‖ \forall v \in V

Se $V$ , $W$ e $X$ sono spazi normati sullo stesso campo e $A : V \to W$ , $B : W \to X$ sono operatori limitati, allora:

‖ B A ‖_{o p} \leq ‖ B ‖_{o p} ‖ A ‖_{o p}

Per gli operatori limitati su $V$ questo implica che la moltiplicazione tra operatori è continua.

Dalla definizione segue inoltre che se una successione di operatori converge nella norma operatoriale allora converge uniformemente su insiemi limitati.

Operatori in spazi di Hilbert

Sia $H$ uno spazio di Hilbert reale e $A : H \to H$ un operatore lineare limitato. Allora si ha:

‖ A ‖_{o p} = ‖ A^{*} ‖_{o p}

e inoltre:

‖ A^{*} A ‖_{o p} = ‖ A ‖_{o p}^{2}

dove $A^{*}$ è l'operatore aggiunto di $A$ (che in uno spazio euclideo con il prodotto scalare standard è rappresentato dalla matrice trasposta coniugata di $A$ ).

In generale, il raggio spettrale $ρ (A)$ di $A$ è limitato dalla norma operatoriale di $A$ :

ρ (A) \leq ‖ A ‖_{o p}

Quando una matrice $N$ è normale la sua forma canonica di Jordan è diagonale, in accordo con il teorema spettrale. In tal caso è semplice vedere che:

ρ (N) = ‖ N ‖_{o p}

Il teorema spettrale può essere esteso a operatori normali in generale, e la precedente uguaglianza vale per ogni operatore normale limitato $N$ . Lo spazio degli operatori limitati su $H$ con la topologia indotta dalla norma operatoriale non è separabile. L'insieme degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert, insieme con la norma operatoriale e l'operazione di aggiuntezza, produce una C*-algebra.

Bibliografia

John B. Conway, A course in functional analysis, New York, Springer-Verlag, 1990, p. 67, ISBN 0-387-97245-5.

Voci correlate

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