Norma uniforme

In analisi matematica, la norma uniforme, norma del sup o norma di Chebyshev di una funzione $f$ definita in un dominio $D$ a valori reali o complessi è la quantità non negativa:

‖ f ‖_{\infty} = sup_{x \in D} | f (x) | .

Se $f$ non è una funzione limitata in $D$ , questa quantità risulta infinita (ad esempio per la funzione esponenziale in $ℝ$ ). Restringendosi invece allo spazio vettoriale delle funzioni definite in $D$ e limitate, $| | \cdot | |_{\infty}$ assume sempre valore finito e soddisfa le proprietà di una norma.

Se $f$ è una funzione continua su un insieme compatto, allora l'estremo superiore è raggiunto per il teorema di Weierstrass, quindi possiamo sostituire l'estremo superiore con il massimo. In questo caso, la norma è anche chiamata norma del massimo.

In particolare, nel caso di un vettore $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ in uno spazio di dimensione finita, prende la forma:

‖ x ‖_{\infty} = max {| x_{1} |, \dots, | x_{n} |} .

La ragione del pedice "∞" è data dal seguente limite, valido se $f \in L^{\infty} (D)$ e la misura di $D$ è finita:

lim_{p \to \infty} ‖ f ‖_{p} = ‖ f ‖_{\infty}

dove

‖ f ‖_{p} = {(\int_{D} {| f |}^{p} d μ)}^{1 / p}

dove $‖ \cdot ‖_{p}$ è la norma p (e l'integrale diventa una somma se $D$ è un insieme discreto).

La funzione binaria:

d (f, g) = ‖ f - g ‖_{\infty}

è quindi una metrica nello spazio di tutte le funzioni limitate nel particolare dominio. Una successione ${f_{n} : n = 1, 2, 3, \dots}$ converge uniformemente alla funzione $f$ se e solo se:

lim_{n \to \infty} ‖ f_{n} - f ‖_{\infty} = 0.

Bibliografia

(EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, New York, McGraw-Hill, 1964, p. 151, ISBN 0-07-054235-X.
(EN) A.E. Taylor e D.C. Lay, Introduction to Functional Analysis, 2ª ed., New York, Wiley, 1980.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Supremum Norm, su MathWorld, Wolfram Research.

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