Valore singolare

In matematica, il termine valore singolare è utilizzato per indicare due concetti distinti, rispettivamente utilizzati nell'algebra lineare e analisi funzionale e nel contesto degli integrali ellittici.

Algebra lineare e analisi funzionale

In analisi funzionale, i valori singolari di un operatore compatto $T : X \to Y$ che mappa tra due spazi di Hilbert $X$ e $Y$ sono le radici quadrate degli autovalori dell'operatore autoaggiunto non-negativo $T^{*} T : X \to X$ (dove $T^{*}$ è l'operatore aggiunto di $T$ ).

Si tratta di numeri reali non negativi solitamente scritti in ordine decrescente come $(s_{1} (T), s_{2} (T), \dots)$ . Se $T$ è a sua volta autoaggiunto allora il maggiore $s_{1}$ tra valori singolari è uguale alla norma operatoriale di $T$ .

In algebra lineare, nel caso di una matrice normale $A$ si può applicare il teorema spettrale per ottenere una diagonalizzazione $U λ U^{*}$ (tramite matrici unitarie) di $A$ in modo che $\sqrt{A^{*} A} = U | Λ | U^{*}$ e quindi i valori singolari sono semplicemente i valori assoluti degli autovalori.

Nel caso finito-dimensionale, tramite la decomposizione ai valori singolari una matrice può essere decomposta nella forma $U D W$ dove $U$ e $W$ sono matrici unitarie e $D$ una matrice diagonale (rettangolare) con autovalori sulla diagonale.

Il concetto è stato introdotto da Erhard Schmidt nel 1907. Schmidt chiamava tuttavia "autovalori" i valori singolari; il termine è dovuto a Smithies, nel 1937. Nel 1957 Allahverdiev mostrò la seguente caratterizzazione per l'n-esimo valore singolare:

s_{n} (T) = inf {‖ T - L ‖ : rk (L) < n}

Questa formulazione consente di estendere la nozione di valore singolare ad operatori in spazi di Banach.

Integrali ellittici

Nell'ambito degli integrali ellittici, un valore singolare è un modulo ellittico $k_{r}$ tale per cui:

\frac{K^{'} (k_{r})}{K (k_{r})} = \sqrt{r}

dove $K (k)$ è un integrale ellittico completo di prima specie e:

K^{'} (k_{r}) \equiv K (\sqrt{1 - k_{r}^{2}})

Bibliografia

(EN) Gohberg, I. C. and Krein, M. G. Introduction to the Theory of Linear Non-selfadjoint Operators. American Mathematical Society, Providence, R.I.,1969. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18.
(EN) Golub, G. H. and Van Loan, C. F. Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins, 1996.
(EN) Marcus, M. and Minc, H. Introduction to Linear Algebra. New York: Dover, p. 191, 1988.
(EN) Marcus, M. and Minc, H. A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities. New York: Dover, p. 69, 1992.
(EN) Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 524-528, 1990.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Singular Value, su MathWorld, Wolfram Research.

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