Operatore bilineare

In matematica, un operatore bilineare è una generalizzazione della moltiplicazione che soddisfa la legge distributiva.

Definizione

Siano $V$ , $W$ e $X$ tre spazi vettoriali sullo stesso campo $F$ ; un operatore bilineare è una funzione:

B : V \times W \to X

tale che per ogni $w \in W$ la mappa:

v \mapsto B (v, w)

è un operatore lineare da $V$ a $X$ , e per ogni $v \in V$ la mappa:

w \mapsto B (v, w)

è un operatore lineare da $W$ a $X$ . In altre parole, se si tiene il primo argomento dell'operatore bilineare fisso, mentre si fa variare il secondo argomento, si ottiene un operatore lineare, e la stessa cosa vale se si tiene fisso il secondo argomento.

Se $V = W$ e si ha $B (v, w) = B (w, v)$ per ogni $v, w \in V$ , allora $B$ è simmetrico.

Nel caso in cui $X = F$ , si ha una forma bilineare, e questo caso è particolarmente utile nello studio, per esempio, del prodotto scalare e delle forme quadratiche.

La definizione funziona senza altri cambiamenti se al posto di spazi vettoriali si usano moduli su un anello commutativo $R$ . È inoltre semplice generalizzare questo concetto a una funzione in $n$ variabili, e il termine appropriato è multilineare.

Nel caso di un anello non commutativo $R$ , un modulo destro $M_{R}$ e un modulo sinistro $_{R} N$ , possiamo definire un operatore bilineare $B : M \times N \to T$ , ove $T$ è un gruppo abeliano, tale che per ogni $n \in N$ , $m \mapsto B (m, n)$ , e per ogni $m \in M$ , $n \mapsto B (m, n)$ sono omomorfismi di gruppi, e che inoltre soddisfa:

B (m t, n) = B (m, t n)

per ogni $m \in M, n \in N, t \in R$ .

Proprietà

Una prima immediata conseguenza della definizione è il fatto che $B (x, y) = 𝟎$ ogni volta che $x = 𝟎$ o $y = 𝟎$ . Ciò si prova scrivendo il vettore nullo $𝟎$ come $0 \cdot 𝟎$ e spostando lo scalare $0$ "al di fuori", davanti a $B$ , per linearità.

L'insieme $L (V, W; X)$ di tutte le mappe bilineari è un sottospazio lineare dello spazio (spazio vettoriale, modulo) di tutte le mappe da $V \times W$ in $X$ .

Se $V, W, X$ sono di dimensione finita, allora lo è anche $L (V, W; X)$ . Se $X = F$ , (per es. nel caso di una forma bilineare) la dimensione di questo spazio è $\dim V \cdot \dim W$ (mentre lo spazio $L (V \times W; K)$ di forme lineari ha dimensione $\dim V + \dim W$ ). Per provarlo, si scelgano una base $ℬ$ per $V$ e una base $𝒞$ per $W$ ; a questo punto ogni mappa bilineare può essere univocamente rappresentata dalla matrice $A$ data da $a_{i j} = B (b_{i}, c_{j})$ , e viceversa (qui $b_{i}$ e $c_{j}$ denotano rispettivamente l' $i$ -esimo elemento della base $ℬ$ e il $j$ -esimo elemento della base $𝒞$ ).

Se $X$ è uno spazio di dimensione superiore, si ha banalmente $\dim L (V, W; X) = \dim V \cdot \dim W \cdot \dim X$ .

Esempi

La moltiplicazione di matrici è una mappa bilineare $M (m, n) \times M (n, p) \to M (m, p)$ .
Se in uno spazio vettoriale $V$ sul campo dei numeri reali $ℝ$ definito un prodotto scalare, allora il prodotto scalare è un operatore bilineare $V \times V \to ℝ$ .
In generale, per uno spazio vettoriale $V$ su un campo $F$ , una forma bilineare su $V$ è equivalente a un operatore bilineare $V \times V \to F$ .
Se $V$ è uno spazio vettoriale, $V^{*}$ è il suo spazio duale e $v \in V, f \in V^{*}$ , allora l'operatore di applicazioni $b (f, v) = f (v)$ è un operatore bilineare da $V \times W$ nel campo di base.
Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $F$ . Se $f$ è un elemento di $V^{*}$ e $g$ è un elemento di $W^{*}$ , allora $b (v, w) = f (v) g (w)$ definisce un operatore bilineare $V \times W \to F$ .
Il prodotto vettoriale in $ℝ^{3}$ è un operatore bilineare $ℝ^{3} \times ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ .
Siano $B : V \times W \to X$ un operatore bilineare e $L : U \to W$ un operatore lineare; allora $(v, u) \mapsto B (v, L (u))$ è un operatore bilineare su $V \times U$ .
La mappa nulla, definita da $B (v, w) = 𝟎$ per ogni $(v, w) \in V \times W$ è l'unica mappa da $V \times W$ in $X$ che sia nel contempo bilineare e lineare. Infatti, se $(v, w) \in V \times W$ e $B$ è una mappa sia lineare che bilineare, allora $B (v, w) = B (v, 𝟎) + B (𝟎, w)$ (per linearità rispetto alla somma di $V \times W$ ) e $B (v, 𝟎) + B (𝟎, w) = 𝟎 + 𝟎 = 𝟎$ (per bilinearità).

Bibliografia

(EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Algebra: Algebraic structures. Linear algebra , 1 , Addison-Wesley (1974) pp. Chapt.1;2
(EN) S. Lang, Algebra , Addison-Wesley (1974)

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) V.L. Popov, Bilinear mapping, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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