Insieme limite

In matematica, l'insieme limite di una successione ${x_{n}}$ consiste in tutti i suoi punti di accumulazione:

ω (x_{n}) = ⋂_{n = 0}^{\infty} \overline{{x_{k} : k > n}} n \in ℕ

dove $\overline{{x_{k} : k > n}}$ è la chiusura di ${x_{k} : k > n}$ .

Nello studio dei sistemi dinamici, un insieme limite di un'orbita $ϕ (t, x_{0})$ di un sistema dinamico per un punto iniziale $x_{0}$ è l'insieme dei punti $p$ tali per cui esiste una successione di istanti temporali $t_{k} \to \pm \infty$ tale che $ϕ (t_{k}, x_{0}) \to p$ per $k \to \infty$ .

Gli insiemi limite forniscono informazioni sul comportamento a lungo termine di un sistema dinamico; esempi particolarmente studiati sono gli insiemi limite in corrispondenza di punti periodici (punti fissi) della traiettoria percorsa dal sistema, ad esempio orbite periodiche (cicli limite) e diversi altri attrattori.

Sistemi dinamici discreti

Sia $X$ uno spazio metrico e sia $f : X \to X$ una funzione continua la cui iterazione definisce un sistema dinamico discreto. L'insieme $ω$ -limite di un punto $x \in X$ , indicato con $ω (x, f)$ , è l'insieme di tutti i punti di accumulazione della successione ${f^{k} (x) : k > n}$ formata dalle orbite passanti per $x$ :

ω (x, f) = ⋂_{n \in ℕ} \overline{{f^{k} (x) : k > n}}

In altri termini, $y \in ω (x, f)$ se e solo se c'è una successione strettamente crescente di numeri naturali ${n_{k}}_{k \in ℕ}$ tale che $f^{n_{k}} (x) \to y$ con $k \to \infty$ .

Se $f$ è un omeomorfismo si può definire in modo simile l'insieme $α$ -limite semplicemente cambiando nella definizione orbita in avanti con orbita inversa, cioè:

α (x, f) = ω (x, f^{- 1})

Entrambi gli insiemi sono $f$ -invarianti e se $X$ è uno spazio compatto sono compatti e non vuoti.

Sistemi dinamici continui

Dato un generico sistema dinamico, descritto dall'equazione differenziale ordinaria:

\frac{d x}{d t} = f (x) x \in ℝ^{n}

sia $x (t) = ϕ (t, x_{0})$ la soluzione (o flusso) del sistema per il punto iniziale $x (0) = x_{0}$ , con $γ (x_{0})$ la corrispondente orbita (l'immagine del flusso). Un punto $x^{'}$ è detto punto $ω$ -limite della soluzione $ϕ (t, x_{0})$ (punto $ω$ -limite dell'orbita $γ (x_{0})$ ) se esiste una successione $t_{1}, \dots, t_{k}, \dots$ di istanti temporali tali che:

ϕ (t_{k}, x_{0}) \to x^{'} k \to \infty

t_{k} \to + \infty

L'insieme $ω$ -limite di $ϕ (t, x_{0})$ è l'insieme di tutti i punti $ω$ -limite di $ϕ (t, x_{0})$ (di $γ (x_{0})$ ).

L'insieme $α$ -limite si definisce analogamente come l'insieme di tutti i punti $α$ -limite della traiettoria $ϕ (t, x_{0})$ , cioè i punti tali che $ϕ (t_{k}, x_{0}) \to x^{'}$ per $t_{k} \to - \infty$ e $k \to \infty$ .

Note

↑ Artem S. Novozhilov - Limit sets, Lyapunov functions. (PDF), su ndsu.edu.

Bibliografia

(EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.
(EN) A. Beck, Continuous flows in the plane , Springer (1974)
(EN) C. Gutierrez, Smoothing continuous flows on two-manifolds and recurrences Ergodic Theory and Dynam. Syst. , 6 (1986) pp. 17–44
(EN) O. Hajek, Dynamical systems in the plane , Acad. Press (1968)

Voci correlate

Collegamenti esterni

insieme limite, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) V.M. Millionshchikov, Limit point of a trajectory, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
(EN) V.M. Millionshchikov, Limit set of a trajectory, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
(EN) Andrei G. Sivak - On the Structure of Transitive ω-limit Sets for Continuous Maps (PDF), su ssd.udl.cat.

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[1] Artem S. Novozhilov - Limit sets, Lyapunov functions. (PDF), su ndsu.edu.