Flusso (matematica)

In matematica, in particolare nello studio delle equazioni differenziali ordinarie, un flusso generalizza il concetto di funzione iterata n volte in modo che il numero di iterazioni n diventi un parametro continuo. Più rigorosamente, un flusso è un'azione di gruppo di un gruppo ad un parametro.

È utilizzato in ingegneria e fisica per formalizzare le soluzioni dell'equazione che descrive un sistema dinamico.

L'idea di un vettore di flusso, cioè il flusso di un campo vettoriale, è utilizzata nei più disparati ambiti, come la topologia differenziale, la geometria di Riemann e i gruppi di Lie. Alcuni esempi di vettori di flusso sono il flusso geodetico, il campo vettoriale hamiltoniano, il flusso di Ricci e il flusso di Anosov.

Definizione

Un flusso definito su un insieme $X$ è un'azione di gruppo di $(ℝ, +)$ su $X$ . Più esplicitamente, un flusso è una funzione $φ : X \times ℝ \to X$ con $φ (x, 0) = x$ e tale da essere coerente con la struttura di un gruppo ad un parametro:

φ (φ (x, t), s) = φ (x, t + s)

per ogni $s, t$ in $ℝ$ e con $x \in X$ .

L'insieme $𝒪 (x, φ) = {φ (x, t) : t \in ℝ}$ è chiamato orbita di $x$ attraverso $φ$ .

Normalmente è richiesto che un flusso sia compatibile con le strutture definite su $X$ , ad esempio se $X$ è uno spazio topologico si richiede solitamente che il flusso sia una funzione continua (in questo modo il flusso forma un sottogruppo ad un parametro di omeomorfismi). In molti casi $X = ℝ^{n}$ , oppure è una varietà differenziabile con $φ$ una funzione differenziabile (che forma un sottogruppo ad un parametro di diffeomorfismi).

Un flusso locale è un flusso definito su un sottoinsieme:

d o m (φ) = {(x, t) | t \in [a_{x}, b_{x}], a_{x} < 0 < b_{x}, x \in X} \subset X \times ℝ

e si introduce in genere quando si trattano flussi di campi vettoriali.

In molti campi, come in ingegneria, in fisica e nello studio delle equazioni differenziali, è diffusa una particolare notazione in cui il flusso è scritto implicitamente come $x (t, x_{0}) \equiv ϕ_{t} (x_{0})$ , intendendo che la variabile $x$ dipende dal tempo $t$ e dal punto iniziale $x_{0}$ .

Sistemi dinamici

Un comune esempio di flusso in fisica matematica sono le soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria autonoma, usata per descrivere i sistemi dinamici:

y^{'} = f (y) y (t = 0) = x_{0}

dove il flusso $ψ_{t} (x_{0})$ corrispondente all'orbita (evoluzione del sistema nello spazio delle fasi) per il punto iniziale $x_{0}$ è l'unica soluzione al problema ai valori iniziali dato.

Bibliografia

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(EN) P.R. Halmos, Lectures on ergodic theory, Math. Soc. Japan (1956) MR0097489 Zbl 0073.09302
(EN) E. Hopf, Ergodentheorie, Springer (1970) MR0024581 Zbl 0185.29001
(EN) A.M. Vershik, Measurable realization of continuous automorphism groups of a unitary ring Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat., 29: 1 (1965) pp. 127–136 Zbl 0194.16302
(EN) G.W. Mackey, Point realizations of transformation groups Illinois J. Math.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) D.V. Anosov, Continuous flow, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
(EN) D.V. Anosov, Measurable flow, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
(EN) D.V. Anosov, Special flow, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
(EN) flow, in PlanetMath.

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