Commutatività

Video esempio della proprietà commutativa di una moltiplicazione, cambiando le posizioni di 34 e di 2 il risultato resta 68.

In matematica, un'operazione binaria $*$ definita su un insieme $S$ è commutativa se e solo se

x * y = y * x, \forall x, y \in S .

Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione $*$ è quindi detta non commutativa.

In particolare, se è vera la proprietà

x * y = - y * x, \forall x, y \in S .

l'operazione $*$ è detta anticommutativa.

Due elementi $x$ e $y$ commutano se $x * y = y * x$ . Quindi l'operazione $*$ è commutativa se e solo se due elementi di $S$ commutano sempre.

Esempi

Operazioni commutative

I più comuni esempi di operazioni binarie commutative sono l'addizione ( $a + b$ ) e la moltiplicazione ( $a \times b$ ), considerate sull'insieme di tutti i numeri reali, o solo sui numeri positivi, naturali o razionali, oppure estese ai numeri complessi; per esempio:

4 + 5 = 5 + 4

(poiché entrambe le espressioni sono uguali a 9);

2 \times 3 = 3 \times 2

(poiché entrambe le espressioni valgono 6).

Altre operazioni binarie commutative sono:

minimo comune multiplo e massimo comun divisore applicati a coppie di interi positivi;
minimo e massimo applicati a coppie di numeri reali o in generale a coppie di elementi di insiemi parzialmente ordinati;
addizione di vettori;
intersezione e unione di insiemi;
congiunzione logica e disgiunzione inclusiva;
composizioni di traslazioni nel piano, nello spazio tridimensionale o in un qualsiasi spazio vettoriale;
composizioni di rotazioni intorno ad un dato punto nel piano.

Operazioni non commutative

Tra le operazioni binarie non commutative tra numeri vi sono la sottrazione ( $a - b$ ), la divisione ( $a / b$ ) e l'elevamento a potenza ( $a^{b}$ ), definite su insiemi opportuni di numeri reali.

Anche la composizione di funzioni ( $f (g (x))$ ) in molti contesti non è commutativa: ad esempio le funzioni reali $f (x) = x + 3$ e $g (y) = y^{2}$ non commutano, in quanto

g (f (x)) = x^{2} + 6 x + 9,

f (g (x)) = x^{2} + 3.

Un'altra importante operazione non commutativa è la moltiplicazione fra matrici quadrate. Ad esempio:

[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}];

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] .

Il prodotto vettoriale, invece, rappresenta un esempio di operazione anticommutativa. Siano $𝐚, 𝐛 \in ℝ^{3}$ . Si ha:

𝐚 \times 𝐛 = - 𝐛 \times 𝐚 .

Strutture algebriche con operazioni commutative

Un gruppo è abeliano, o anche commutativo, se l'operazione che vi è definita è commutativa.

Un anello ha definite due operazioni, chiamate generalmente "somma" e "prodotto" in analogia con i numeri interi. L'operazione di "somma" è sempre commutativa, ma l'operazione "prodotto" no. Un anello è chiamato abeliano o commutativo se anche la moltiplicazione è commutativa.

Generalmente, le strutture algebriche abeliane sono molto più semplici delle analoghe non abeliane.

Tavola di composizione

Un'operazione è commutativa se e solo se la sua tavola di composizione è simmetrica. Per esempio le tavole di composizione delle operazioni minimo comune multiplo e massimo comun divisore per l'insieme dei numeri interi da 1 a 6 sono

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 2 & 6 & 4 & 10 & 6 \\ 3 & 6 & 3 & 12 & 15 & 6 \\ 4 & 4 & 12 & 4 & 20 & 12 \\ 5 & 10 & 15 & 20 & 5 & 30 \\ 6 & 6 & 6 & 12 & 30 & 6 \end{matrix}]

e

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 6 \end{matrix}] .

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

commutatività, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

commutatività, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

(EN) Eric W. Weisstein, Commutative, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Commutatività, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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