Composizione di funzioni

In matematica, la composizione di funzioni è l'applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione. Più precisamente, una funzione $f$ tra due insiemi $X$ e $Y$ associa ogni elemento di $X$ a uno di $Y$ : in presenza di un'altra funzione $g$ che associa ogni elemento di $Y$ a un elemento di un altro insieme $Z$ , si definisce la composizione di $f$ e $g$ come la funzione che associa ogni elemento di $X$ a uno di $Z$ usando prima $f$ e poi $g$ . Il simbolo Unicode dell'operatore è ∘ (U+2218).

Definizione

Formalmente, date due funzioni $f : X \to Y$ e $g : Y \to Z$ definiamo la funzione composta:

g \circ f : X \to Z

(g \circ f) (x) = g (f (x)) \forall x \in X

applicando prima $f$ ad $x$ e quindi applicando $g$ al risultato $f (x)$ .

Ad esempio, supponiamo che l'altezza di un aereo al tempo $t$ sia data da una funzione $h (t)$ e che la concentrazione di ossigeno nell'atmosfera all'altezza $x$ sia data da un'altra funzione $c (x)$ . Allora $(c \circ h) (t) = c (h (t))$ descrive la concentrazione di ossigeno nella posizione in cui sta l'aereo al tempo $t$ .

Per ragioni storiche la composizione è scritta "da destra verso sinistra", in contrasto con la normale lettura "da sinistra a destra" delle lingue europee. Per questo motivo alcuni autori preferiscono usare una notazione invertita, e scrivere $x f g$ invece di $g (f (x))$ .

Per comporre due funzioni è strettamente necessario che il dominio di $g$ coincida con il codominio di $f$ . In alcuni ambiti, tuttavia, identificando impropriamente due funzioni che hanno la stessa legge di applicazione, ma diversi domini e codomini, si ritiene sufficiente che l'immagine di $f$ e il dominio di $g$ abbiano un'intersezione non vuota.

Proprietà

La composizione di funzioni è sempre associativa. In altre parole, se $f$ , $g$ e $h$ sono tre funzioni con domini e codomini opportuni, allora $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ . Per questo motivo si possono omettere le parentesi nella composizione di più funzioni.

La composizione di due funzioni iniettive è iniettiva, e di due funzioni suriettive è suriettiva. Quindi la composizione di due funzioni biettive è biettiva. Ma non vale il viceversa.

L'insieme delle funzioni biettive $f : X \to X$ , con l'operazione di composizione, è un gruppo. La proprietà associativa è garantita per quanto detto sopra, l'elemento neutro è la funzione identità $(f (x) = x$ per ogni $x$ ) e un inverso esiste sempre perché le funzioni sono biettive. Questo gruppo è detto anche gruppo delle permutazioni di $X$ . Se l'insieme $X$ contiene più di due elementi, tale gruppo non è commutativo: generalmente due funzioni biettive non commutano.

Derivata delle funzioni composte

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione "esterna" moltiplicata per la derivata della funzione "interna":

D [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

dove le notazioni $D [f (x)]$ e $f^{'} (x)$ indicano il medesimo significato di derivata.

La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:

𝐱 (t) = (x_{1} (t), x_{2} (t), \dots, x_{n} (t)) t \in ℝ

è un vettore di $ℝ^{n}$ le cui componenti sono funzioni derivabili:

𝐱^{'} (t) = (x'_{1} (t), x'_{2} (t), \dots, x'_{n} (t))

e se $f$ è una funzione differenziabile in $𝐱 (t)$ , allora la funzione composta:

F (t) = f (𝐱 (t))

è differenziabile nella variabile $t$ e si ha:

F^{'} (t) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f (𝐱 (t))}{\partial x_{i}} x'_{i} (t) = (\nabla F (𝐱), 𝐱^{'} (t))

dove $\nabla$ è il gradiente di $f$ e $(,)$ è il prodotto scalare euclideo standard.

Infine, se $𝐟$ e $𝐠$ sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:

J [(𝐟 \circ 𝐠) (x)] = J [𝐟 (𝐠 (x))] \cdot J [𝐠 (x)]

dove $\cdot$ è la moltiplicazione di matrici e $J [𝐟 (x)]$ è la matrice jacobiana di $𝐟$ .

Composizioni iterate

Una funzione $f : X \to X$ (non necessariamente biettiva) può essere composta con sé stessa $n$ volte, ed il risultato, detto iterata $n$ -esima di $f$ , può essere scritto $f^{n}$ quando non genera ambiguità. Ad esempio con $\sin^{2} (x)$ si denota comunemente il quadrato del seno di $x$ , cioè $\sin (x)^{2} = \sin (x) \cdot \sin (x)$ , anziché il valore in $x$ della composizione del seno con se stesso, cioè $(\sin \circ \sin) (x) = \sin (\sin (x))$ .

Lo studio delle composizioni iterate di una funzione è argomento comune nell'ambito dei sistemi dinamici discreti e in particolare nella definizione dei frattali, che si possono trovare iterando infinite volte una funzione.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

funzioni, composizione di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Composition, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Composition, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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