Distribuzione Beta

Caratteristiche

I momenti semplici di una variabile aleatoria ${\displaystyle X}$ con distribuzione Beta di parametri ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ sono

${\displaystyle \mu _{k}=E[X^{k}]={\frac {\int _{0}^{1}x^{\alpha +k-1}(1-x)^{\beta -1}dx}{\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx}}={\frac {\mathrm {B} (\alpha +k,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}={\frac {(\alpha )_{k}}{(\alpha +\beta )_{k}}}}$,

dove ${\displaystyle x_{k}}$ indica il fattoriale crescente con k fattori, ${\displaystyle (x)_{k}=x(x+1)\cdots (x+k-1)}$. (L'ultima uguaglianza può essere dedotta dall'espressione della funzione Beta attraverso la funzione Gamma, ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )/\Gamma (\alpha +\beta )}$ e dalla proprietà ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$.)

I momenti semplici soddisfano quindi la relazione ricorsiva

${\displaystyle \mu _{k+1}={\frac {\alpha +k}{\alpha +\beta +k}}\mu _{k}}$.

In particolare, la distribuzione ha:

• valore atteso ${\displaystyle E[X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$;
• varianza ${\displaystyle {\text{Var}}(X)={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$;
• indice di asimmetria ${\displaystyle \gamma _{1}=2{\frac {\beta -\alpha }{\alpha +\beta +2}}{\sqrt {\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}}}$;
• indice di curtosi ${\displaystyle \gamma _{2}=6{\frac {\alpha ^{3}-2\alpha ^{2}\beta -2\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3}+\alpha ^{2}-4\alpha \beta +\beta ^{2}}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$.

Invertendo le relazioni qui sopra, che forniscono il valore atteso e la varianza in funzione dei parametri ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$, possiamo esprimere univocamente i suddetti parametri in termini del valore atteso e della varianza:

${\displaystyle \alpha =E[X]\left({\frac {E[X](1-E[X])}{{\text{Var}}(X)}}-1\right)}$;

${\displaystyle \beta =(1-E[X])\left({\frac {E[X](1-E[X])}{{\text{Var}}(X)}}-1\right)}$.

Queste formule vengono applicate nel metodo dei momenti, con la media e la varianza osservate su un campione.

L'entropia è

${\displaystyle H(X)=\log \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\digamma (\alpha )-(\beta -1)\digamma (\beta )+(\alpha +\beta -2)\digamma (\alpha +\beta )}$,

dove ${\displaystyle \digamma }$ è la funzione digamma.

La moda della distribuzione dipende dai segni di ${\displaystyle \alpha -1}$ e ${\displaystyle \beta -1}$, ed è unica solo se almeno uno dei due è positivo:

se ${\displaystyle \alpha >1}$ e ${\displaystyle \beta >1}$ allora la moda è ${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}$;

se ${\displaystyle \alpha >1}$ (o ${\displaystyle \alpha =1}$) e ${\displaystyle \beta <1}$ allora la moda è 1;

se ${\displaystyle \beta >1}$ (o ${\displaystyle \beta =1}$) e ${\displaystyle \alpha <1}$ allora la moda è 0.

(La funzione di densità di probabilità ha un asintoto in 0 se ${\displaystyle \alpha <1}$, in 1 se ${\displaystyle \beta <1}$.)

La distribuzione Beta e il processo di Bernoulli

E' immediato dimostrare che, se X è distribuita come una v.c. binomiale con parametri n e π

${\displaystyle f(x|\pi )=Binom(x|n;\pi )}$

e il parametro π è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

${\displaystyle g(\pi )=Beta(\pi |a;b)}$

allora il parametro π è distribuito a posteriori, anch'esso, come una v.c. Beta, ma con parametri a+x e b+n-x

${\displaystyle g(\pi |x)=Beta(\pi |a+x;b+n-x)}$

Come detto in precedenza, qualora il parametro π sia distribuito a priori come una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibili valori di π equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori del parametro π è una Beta con parametri x+1 e n-x+1

${\displaystyle g(\pi |x)=(n+1){n \choose x}\pi ^{x}(1-\pi )^{n-x}}$

essa ha come valore modale p

${\displaystyle p={\frac {x}{n}}}$, che corrisponde alla stima usata in ambito frequentistico, mentre il valore atteso o media, è

${\displaystyle p={\frac {x+1}{n+2}}}$, che per x<n/2 è maggiore del valore modale ${\displaystyle {\frac {x}{n}}}$. Il valore atteso minimizza lo scarto quadratico.

Infatti, la probabilità di ottenere ${\displaystyle \alpha -1}$ successi e ${\displaystyle \beta -1}$ fallimenti in un processo di Bernoulli di parametro p è ${\displaystyle {\tbinom {\alpha +\beta -2}{\alpha -1}}p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}$, proporzionale alla densità ${\displaystyle f(p)}$ della distribuzione Beta di parametri ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$.

Pertanto, come detto sopra, se la variabile aleatoria ${\displaystyle S}$ segue una distribuzione binomiale ${\displaystyle {\mathcal {B}}(P,\alpha +\beta -2)}$ con parametro aleatorio P distribuito a priori uniformemente sull'intervallo unitario ${\displaystyle [0,1]}$, a posteriori dell'osservazione ${\displaystyle S=\alpha -1}$ il parametro P segue la distribuzione ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$.

Più in generale, se ${\displaystyle S}$ è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale ${\displaystyle {\mathcal {B}}(P,n)}$ e il parametro P segue a priori la distribuzione ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$, allora a posteriori dell'osservazione ${\displaystyle S=s}$ il parametro P segue la distribuzione ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha +s,\beta +n-s)}$.

Il caso della distribuzione uniforme a priori è un caso particolare di quest'ultimo, essendo ${\displaystyle \mathrm {B} (1,1)={\mathcal {U}}(0,1)}$.