Frequentò il Loras College di Dubuque, nell'Iowa, e la Catholic University of America di Washington. Il 27 maggio 1937 fu ordinato presbitero per la diocesi di Great Falls da Edwin Vincent O'Hara. Proseguì gli studi postuniversitari all'Università di Oxford, in Inghilterra, dal 1938 al 1939 e fu vicecancelliere della diocesi dal 1941 al 1943. Dal 1943 al 1946 fu rettore della cattedrale di Sant'Anna di Great Falls, prima di frequentare la Saint Louis University di Saint Louis, nel Missouri. Nel 1946 divenne sovrintendente delle scuole cattoliche della diocesi e nel 1949 fu nominato prelato domestico dalla Santa Sede.
Il 30 ottobre 1961, Schuster fu nominato vescovo ausiliare di Great Falls e vescovo titolare di Amblada da papa Giovanni XXIII. Ricevette la consacrazione episcopale nella cattedrale di Sant'Anna il 21 dicembre 1961 dall'arcivescovo Egidio Vagnozzi, con i vescovi William Joseph Condon e Joseph Michael Gilmore come co-consacranti. In seguito alla morte del vescovo Condon, Schuster fu nominato quarto vescovo di Great Falls il 2 dicembre 1967 da papa Paolo VI.
Dopo dieci anni alla guida della diocesi, Schuster rassegnò le dimissioni, che Paolo VI accettò il 27 dicembre 1977. Eldon Schuster morì a Great Falls il 4 settembre 1998, all'età di 87 anni.
