Club
Elizabeth Arnot iniziò la carriera giocando inizialmente per l'Edinburgh City, per passare poi all'Hutchison Vale prima di trasferirsi all'Hibernian nel gennaio 2012.
Grazie al secondo posto ottenuto dalla sua squadra al termine della stagione 2016 dietro le campionesse del Glasgow City e alla riorganizzazione della UEFA Women's Champions League che porta a due le squadre scozzesi ammesse alla UEFA Women's Champions League 2016-2017, Arnot ha l'occasione di debuttare in un torneo internazionale per club, ai sedicesimi di finale della stagione 2016-2017, nell'incontro del 5 ottobre 2016 che vede le scozzesi sconfitte in casa per 6-0 dalle tedesche del Bayern Monaco, giocando anche la partita di ritorno, persa 4-1, prima di essere eliminate dal torneo. Il secondo posto, ancora dietro al Glasgow City, nella stagione successiva, garantisce ancora l'accesso alla fase preliminare della Champions League 2017-2018. Nel maggio 2018, dopo oltre un anno di assenza causato dal recupero da un grave in infortunio al legamento crociato, Arnot mette a segno una cinquina nella finale di SWPL Cup vinta per 9-0 dall'Hibernian.
Nel giugno 2018 il sito BBC Sport annuncia che Arnot non avrebbe rinnovato il contratto con le Hibs, e il mese successivo viene dato l'annuncio del suo trasferimento alla neoistituita Manchester United femminile per la sua stagione inaugurale 2018-2019.
Nazionale
Arnot inizia ad essere convocata dalla Federcalcio scozzese (Scottish Football Association - SFA) dal 2010, iniziando la trafila nelle sue selezioni nazionali giovanili a partire dall'under 15 per passare dall'anno successivo alla under 17, inserita in rosa con la squadra impegnata al secondo turno di qualificazione all'edizione 2012 del campionato europeo di categoria e dove fa il suo debutto il 7 ottobre 2011 nell'incontro perso per 3-0 con le pari età del Kazakistan.
Dal 2013 veste la maglia della formazione under 19 con la quale rimane fino al raggiungimento del limite d'età totalizzando 11 reti su 28 presenze.
Del 2015 è la sua prima convocazione in nazionale maggiore, chiamata dalla selezionatrice Anna Signeul per valutarne lo stato di forma in previsione dell'inizio delle qualificazioni all'Europeo dei Paesi Bassi 2017. Arnot debutta davanti al pubblico del Firhill Stadium di Glasgow, nell'amichevole programmata per il 17 settembre 2015 con la Norvegia, quando al 69' rileva Joanne Love, partita titolare, sul passivo di tre gol, incontro poi vinto dalle avversarie per 4-0. Di seguito Signeul la convoca con continuità nel corso della fase a gironi, nel gruppo 1 del trofeo UEFA, entrando da sostituta nei primi tre incontri in programma e rimanendo in panchina nei tre successivi, a parte la parentesi dell'amichevole con la Spagna dell'8 marzo 2016.
Nell'aprile 2017, durante un allenamento, subisce un infortunio a un ginocchio che, dopo gli accertamenti medici, si rivelerà la rottura del legamento crociato anteriore rendendo necessario un intervento chirurgico di ricostruzione e il conseguente lungo periodo di riabilitazione. L'inconveniente le preclude la convocazione all'Europeo dei Paesi Bassi 2017 ritornando disponibile solo da maggio 2018.
A disposizione della nuova allenatrice Shelley Kerr, disputa le qualificazioni, nel gruppo 2 della zona UEFA, al Mondiale di Francia 2019 tornano a solcare il terreno di gioco per pochi minuti dal termine dell'incontro vinto 2-1 sulla Bielorussia del 7 giugno 2018. In seguito Kerr le rinnova la fiducia convocandola in occasione dell'edizione 2019 dell'Algarve Cup, nel quale la Scozia non veniva invitata da 17 anni dalla prima e precedente partecipazione della Scozia al torneo ad invito disputato in Portogallo. In quell'occasione Arnot gioca tutte le tre partite in programma, segnando i suoi primi primi gol in nazionale realizzando una doppietta nella vittoria per 4-1 sull'Islanda, prestazione che permette di disputare la finale per il 5º posto vinta di misura sulle avversarie della Danimarca.
La prestazione offerta nel torneo convince Kerr a inserirla nella lista delle 23 calciatrici selezionate per disputare la Coppa del Mondo femminile FIFA 2019, prima partecipazione in assoluto della nazionale a questo torneo. Il cammino della Scozia si ferma già alla fase a gironi, avendo conquistato un solo punto nel gruppo D, il pareggio 3-3 con l'Argentina, e concludendo al 4º e ultimo posto. Arnot scende in campo un due dei tre incontri disputati dalle scozzesi, rilevando Christie Murray all'86' della sconfitta per 2-1 con l'Inghilterra e partendo titolare nella sconfitta per 2-1 con il Giappone, sostituita al 59' da Claire Emslie.
Riconfermata anche per le qualificazioni all'Europeo di Inghilterra 2022, la centrocampista viene utilizzata in 4 delle 8 partite in programma, tornando al gol con la doppietta siglata alle avversarie di Cipro il 19 febbraio 2021, incontro terminato con il risultato di 10-0 per le scozzesi.
Dopo aver mancato l'accesso a EURO 2022, la squadra viene affidata al nuovo CT Pedro Martínez Losa, in carica dal 21 luglio 2021, il quale, pur confermando Arnot in rosa per le qualificazioni al Mondiale di Australia e Nuova Zelanda 2023, non ritiene necessario impiegarla durante la fase a gironi, decidendo di concederle un'ultima opportunità convocandola nel febbraio 2022 per la seconda edizione della Pinatar Cup. Schierata in tutti e tre gli incontri, la giocatrice contribuisce al 5º posto finale, ottenuto superando l'Ungheria solo dopo i calci di rigore. Da allora le convocazioni si sono ridotte cessando del tutto, secondo le fonti di statistica consultate, dopo l'aprile del 2022.
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Scozia
