Spazio vettoriale simplettico

In algebra lineare, uno spazio vettoriale simplettico è uno spazio vettoriale reale $V$ di dimensione pari dotato di una funzione

ω : V \times V \to ℝ

tale che, per ogni $v, v^{'}, w, w^{'}$ in $V$ e per ogni $λ, μ$ in $ℝ$

ω (λ v + μ v^{'}, w) = λ ω (v, w) + μ ω (v^{'}, w)

ω (v, λ w + μ w^{'}) = λ ω (v, w) + μ ω (v, w^{'})

ω (v, v) = 0

ω (v, w) = 0

per ogni

w

implica

v = 0

In altre parole, $ω$ è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. Lo spazio $V$ munito della forma $ω$ si dice anche munito di struttura simplettica.

Fissata una base, $ω$ si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari. Infatti, sia $M$ la matrice di dimensione $m \times m$ , con $m = \dim V$ ,che rappresenta la forma bilineare $ω$ in un qualche base, ovvero

ω (u, v) = u^{T} M v \forall u, v \in V

Allora, dal momento che la forma $ω$ è antisimmetrica anche $M$ lo sarà e dunque

det W = det W^{T} = (- 1)^{m} det W

dove nella prima uguaglianza si è usata la formula di Binet. Dal momento che $W$ è invertibile vale $det M \neq 0$ , e quindi dalla precedente espressione si evince che $m = 2 n$ , e quindi la dimensione dello spazio simplettico è necessariamente pari.

Base simplettica canonica

Dato uno spazio vettoriale simplettico $(V, ω)$ di dimensione $2 n$ la base ${𝐞_{1}, \dots, 𝐞_{n}, 𝐟_{1}, \dots, 𝐟_{n}}$

tale che

ω (𝐞_{i}, 𝐞_{j}) = 0 ω (𝐟_{i}, 𝐟_{j}) = 0 ω (𝐞_{i}, 𝐟_{j}) = δ_{i j}

per ogni $i, j = 1, \dots, n$ è detta base simplettica canonica. In tale base il prodotto simplettico diviene

ω (𝐮, 𝐯) = 𝐮^{T} J 𝐯

dove $J$ è la matrice a blocchi data da

J = [\begin{matrix} 𝟎_{n} & 𝐈_{n} \\ - 𝐈_{n} & 𝟎_{n} \end{matrix}]

detta matrice unità simplettica.

Proprietà della matrice unità simplettica

La matrice $J$ soddisfa alcune proprietà, quali

$J^{2} = - 𝐈_{2 n}$
$J^{T} = J^{- 1} = - J$
$det J = 1$

Esistenza

Si può dimostrare che ogni spazio vettoriale simplettico ammette una base simplettica canonica.

Sottospazi

Dato uno spazio vettoriale simplettico $(V, ω)$ ed un suo sottospazio vettoriale $W$ , possiamo definire il complemento ortogonale simplettico di $W$ come

W^{⊥} = {𝐮 \in V tali che ω (𝐮, 𝐯) = 0 \forall 𝐯 \in W}

Allora il sottospazio $W$ si dice

Isotropo se $W \subset W^{⊥}$
Lagrangiano (o massimalmente isotropo) se $W = W^{⊥}$
Coisotropo se $W \supset W^{⊥}$

Se $\dim V = 2 n$ , allora la dimensione degli spazi isotropi è compresa tra $0$ e $n - 1$ , quella degli spazi coisotropi tra $n + 1$ e $2 n$ e quella degli spazi Lagrangiani è necessariamente $n$ .

La forma simplettica è identicamente nulla sugli spazi isotropi o lagrangiani

ω (𝐮, 𝐯) = 0 \forall 𝐮, 𝐯 \in W isotropo o lagrangiano

Esempio

Dato lo spazio vettoriale $V = span {𝐞_{1}, 𝐞_{2}, 𝐟_{1}, 𝐟_{2}}$ dotato della forma simplettica standard, il sottospazio $W = span {𝐞_{1}, 𝐞_{1}}$ è lagrangiano.

Simplettomorfismi

Un simplettomorfismo tra due spazi vettoriali simplettici $(V_{1}, ω_{1})$ e $(V_{2}, ω_{2})$ è un isomorfismo lineare $ϕ : V_{1} \to V_{2}$ tale che $ϕ^{*} ω_{2} = ω_{1}$ .

In altre parole, questo significa che se vale

ω_{2} (ϕ (𝐮), ϕ (𝐯)) = ω_{1} (𝐮, 𝐯)

per ogni coppia di vettori $𝐮, 𝐯 \in V_{1}$ , allora $ϕ$ è un simplettomorfismo. In tal caso i due spazi si dicono simplettomorfi.

Si può dimostrare che, dato un qualsiasi spazio vettoriale simplettico $(V, ω)$ di dimensione $2 n$ , questo è simplettomorfo a $(ℝ^{2 n}, ω_{0})$ , dove $ω_{0}$ è la forma simplettica standard.

Bibliografia

Ralph Abraham e Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, capitolo 3, London ISBN 0-8053-0102-X.
Dusa McDuff e D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.

Voci correlate

Collegamenti esterni

Introduzione alla geometria simplettica (PDF), su alpha01.dm.unito.it. URL consultato il 6 marzo 2009 (archiviato dall'url originale il 21 settembre 2006).
Strutture di Poisson e strutture complesse (PDF), su caressa.it.

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