Frazione unitaria

In matematica, una frazione unitaria (¹⁄_n) è una frazione avente numeratore unitario e al denominatore un intero positivo (n), del quale non rappresenta altro che il reciproco; può essere scritta quindi nella notazione più classica ${\frac {1}{n}}$ (con il numero sotto la linea di frazione) o $n^{-1}$ (con il numero elevato a esponente negativo).

Definizione corretta di Unità Frazionaria

L'unità frazionaria 1/n è una delle n parti uguali in cui è stato diviso un intero.

Somma algebrica (somma e differenza): ${\frac {1}{a}}\pm {\frac {1}{b}}={\frac {b\pm a}{ab}}$ ${\frac {1}{a}}\pm {\frac {1}{b}}={\frac {b\pm a}{ab}}$
- sommatoria
: $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{1}\dots a_{n}}{a_{i}}}}{a_{1}\dots a_{n}}}$ $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{1}\dots a_{n}}{a_{i}}}}{a_{1}\dots a_{n}}}$ ; ottimizzando con il minimo comune multiplo ${\mbox{mcm}}(a_{1},...,a_{n})$ ${\mbox{mcm}}(a_{1},...,a_{n})$ si ha la forma $={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mbox{mcm}}{a_{i}}}}{\mbox{mcm}}}$ $={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mbox{mcm}}{a_{i}}}}{\mbox{mcm}}}$
- se $a$ è costante
: $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a}}={\frac {n}{a}}$
Moltiplicazione: ${\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}}={\frac {1}{ab}}$ ${\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}}={\frac {1}{ab}}$
- produttoria
: $\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}={\frac {1}{a_{1}\dots a_{n}}}$ $\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}={\frac {1}{a_{1}\dots a_{n}}}$
- se $a$ è costante
: $\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{a}}={\frac {1}{a^{n}}}$
Divisione: ${\frac {1}{a}}\div {\frac {1}{b}}={\frac {b}{a}}$

Le dimostrazioni possono essere ottenute facilmente attraverso la notazione esponenziale $a^{-1}$ .

La serie infinita di tutte prime n frazioni unitarie è detta serie armonica

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+...+{\frac {1}{n}}+...

e, contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, diverge a più infinito ( $+\infty$ )

(EN) Frazione unitaria, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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