Gas ideale

Un gas ideale, o gas perfetto, è un gas descritto dall'equazione di stato dei gas perfetti, e che quindi rispetta la legge di Boyle-Mariotte, la prima legge di Gay-Lussac o legge di Charles, e la seconda legge di Gay-Lussac, in tutte le condizioni di temperatura, densità e pressione. In questo modello le molecole del gas sono assunte puntiformi e non interagenti. I gas reali si comportano con buona approssimazione come gas perfetti quando la pressione è sufficientemente bassa e la temperatura sufficientemente alta.

Proprietà di un gas ideale

Per gas ideale si intende un gas che possieda le seguenti proprietà:

• le molecole sono puntiformi e pertanto hanno un volume trascurabile;
• le molecole interagiscono tra loro e con le pareti del recipiente mediante urti perfettamente elastici (ovvero non vi è dispersione di energia cinetica durante gli urti);
• non esistono forze di interazione a distanza tra le molecole del gas: le molecole si dicono "non interagenti";
• le molecole del gas sono identiche tra loro e indistinguibili;
• il moto delle molecole è casuale e disordinato in ogni direzione, ma soggetto a leggi deterministiche.

In conseguenza di ciò:

• il gas non può essere liquefatto per sola compressione, ossia non subisce trasformazioni di stato;
• il calore specifico è funzione della temperatura;
• l'energia interna è data solamente dall'energia cinetica, non da quella potenziale; essa rimane costante e non viene dissipata.

In un gas ideale l'energia cinetica media delle molecole del gas è direttamente proporzionale alla temperatura (espressa in unità energetiche):

${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}m\langle v^{2}\rangle =T}$

I gas reali vengono descritti dalla legge dei gas perfetti con buona approssimazione solo quando la pressione è sufficientemente bassa e la temperatura sufficientemente alta. In caso contrario è valida la legge dei gas reali.

Energia interna

La variazione dell'energia interna è una funzione di stato, ossia ha la proprietà di dipendere solo dal suo stato iniziale e finale e non dal percorso compiuto. In generale l'energia interna è una funzione sia della temperatura che del volume, differenziando si ottiene quindi:

${\displaystyle du=\left({\partial u \over \partial T}\right)dT+\left({\partial u \over \partial v}\right)dv}$

Considerando i risultati matematici dell'esperienza di Joule per l'espansione libera di un gas perfetto:

${\displaystyle \left({\partial u \over \partial v}\right)=0}$

${\displaystyle \left({\partial u \over \partial p}\right)=0}$

e sostituendo nel differenziale precedentemente calcolato, si ottiene:

${\displaystyle du=\left({\partial u \over \partial T}\right)dT}$

Ovvero per i gas perfetti l'energia interna è funzione solamente della temperatura.

Definendo come ${\displaystyle c_{v}}$ il calore specifico isocoro, allora per una trasformazione isocora dal primo principio della termodinamica si ha che:

${\displaystyle du=\delta q=\left({\partial q \over \partial T}\right)dT=c_{v}dT}$

dove ${\displaystyle \delta q}$ è il calore per unità di quantità di sostanza del gas scambiato dal gas stesso con l'ambiente durante la trasformazione. Assumendo che la capacità termica è costante con la temperatura, e usando la legge dei gas perfetti, allora il primo principio della termodinamica può essere riscritto per i gas ideali e per trasformazioni quasistatiche come il differenziale esatto:

${\displaystyle dq=c_{v}dT+T{\frac {dv}{v}}}$

Entropia

Lo stesso argomento in dettaglio: Entropia § Definizione termodinamica.

Si consideri una trasformazione reversibile che porti ${\displaystyle n}$ moli di gas perfetto da uno stato con pressione, volume specifico e temperatura ${\displaystyle (p_{A},\;V_{A},\;T_{A})}$ ad uno stato finale ${\displaystyle (p_{B},\;V_{B},\;T_{B})}$. La quantità infinitesima di calore scambiata nella trasformazione è data da:

${\displaystyle dq=c_{v}dT+T{\frac {dv}{v}}}$

dove ${\displaystyle c_{v}}$ è il calore specifico a volume costante, v il volume molare e T è la temperatura espressa in unità energetiche.

Ricordando che la variazione di entropia è data da:

${\displaystyle s_{B}-s_{A}=\int _{A}^{B}\left({\frac {dq}{T}}\right)_{rev}}$,

allora la variazione si entropia nel passaggio dallo stato iniziale ${\displaystyle A}$ allo stato finale ${\displaystyle B}$ è data da:

${\displaystyle s_{B}-s_{A}=\int _{A}^{B}c_{v}{\frac {dT}{T}}\ +\int _{A}^{B}{\frac {dv}{v}}}$.

Integrando si ottiene:

${\displaystyle s_{B}-s_{A}=c_{v}\ln {\left({\frac {T_{B}}{T_{A}}}\right)}+\ln {\left({\frac {v_{B}}{v_{A}}}\right)}}$.

Utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti e la Relazione di Mayer per i gas ideali, ed operando le opportune sostituzioni, è possibile riscrivere la relazione appena trovata anche in termini di pressione e di calore specifico a pressione costante:

${\displaystyle s_{B}-s_{A}=c_{p}\ln {\left({\frac {T_{B}}{T_{A}}}\right)}-\ln {\left({\frac {p_{B}}{p_{A}}}\right)}}$

${\displaystyle s_{B}-s_{A}=c_{v}\ln {\left({\frac {p_{B}}{p_{A}}}\right)}+c_{p}\ln {\left({\frac {v_{B}}{v_{A}}}\right)}}$.

Si ricordi che in questi calcoli il calore specifico è stato assunto come costante della temperatura.

Entalpia

Per il gas ideale anche l'entalpia molecolare è funzione solamente della temperatura:

${\displaystyle \ dh=c_{p}dT}$

dove ${\displaystyle c_{p}}$ è il calore specifico isobaro (in forma numerica, adimensionale e T la temperatura espressa in unità energetiche, ed ottenuta quindi moltiplicando per esempio la temperatura assoluta per la costante dei gas. Dalla relazione di Mayer per un gas ideale:

${\displaystyle c_{p}=c_{v}+1}$

e considerando che:

${\displaystyle \ du=c_{v}dT}$

si evince che per un gas perfetto vale la relazione:

${\displaystyle \ dh=du+dT}$.

Note

Bibliografia

• Philip A. Thompson, Compressible-Fluid Dynamics, Irving H. Shames, 1988.
• Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica - Volume I (seconda edizione), Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1.

Voci correlate

• Gas ideale monoatomico
• Equazione di stato dei gas perfetti
• Relazione di Mayer
• Piano di Amagat
• Gas reale
• Fugacità
• Fluido ideale
• Miscela ideale

V · D · M Stati della materia
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Cambiamenti di stato	Fusione · Solidificazione · Cristallizzazione · Punto di fusione · Ebollizione · Evaporazione · Condensazione · Sublimazione · Brinamento
Miscele	Caligine · Sospensione · Dispersione · Soluzione · Lega · Colloide · Aerosol · Nebbia · Spray liquido · Fumo · Particolato · Polvere · Schiuma · Emulsione · Sol · Aerogel · Gel · Schiuma solida · Miscela gassosa
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Concetti	Punto triplo · Punto critico · Equazione di stato · Curva di raffreddamento · Fase · Solidus · Liquidus

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