Un intero di Gauss (o gaussiano) è un numero complesso le cui parti reale e immaginaria sono intere. L'insieme degli interi di Gauss, dotato delle ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione tra numeri complessi, è un anello.
Un intero di Gauss (o gaussiano) è un numero complesso le cui parti reale e immaginaria sono intere. L'insieme degli interi di Gauss, dotato delle ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione tra numeri complessi, è un anello.
Formalmente, gli interi di Gauss costituiscono l'insieme
L'anello degli interi di Gauss è un dominio d'integrità, un anello a fattorizzazione unica, un anello a ideali principali e un dominio euclideo, ma non è un anello ordinato.
La norma è una funzione che a ogni intero di Gauss associa un numero intero non negativo definito come
La norma è moltiplicativa, cioè
Gli elementi invertibili (le unità) di sono tutti e soli gli elementi di norma 1, cioè i quattro numeri seguenti:
Come i numeri interi, anche gli interi di Gauss possono essere scritti in maniera (quasi) unica come prodotto di "primi", detti primi di Gauss. Alcuni "comuni" numeri primi sono primi di Gauss, mentre altri diventano dei numeri composti; per esempio 2 = (1 + i)(1 − i) e 5 = (2 + i)(2 − i).
Più precisamente:
In generale, un intero di Gauss è primo se e solo se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:
I primi di Gauss sono infiniti, perché sono infiniti i numeri primi congrui a 3 modulo 4.
Il campo dei quozienti degli interi di Gauss è il campo dei razionali di Gauss (o gaussiani)
formato dai numeri complessi a+bi le cui parti reale ed immaginaria, a e b, sono entrambe numeri razionali.
Questo campo è un'estensione di di grado 2, quindi è un campo di numeri.
Come tutti i campi di numeri, è un'estensione finita e separabile di , e con la topologia euclidea ereditata da non è uno spazio completo.
Come tutte le estensioni di grado 2, l'estensione è normale, di Galois, abeliana, con gruppo di Galois isomorfo a .
Inoltre , essendo il campo di spezzamento del polinomio x4-1 su , è un campo ciclotomico con anello degli interi è .
L'insieme degli interi di Gauss forma un dominio euclideo rispetto alla norma . La dimostrazione di questa proprietà è la seguente.
Si definiscano due elementi di denotati con e . La divisione tra questi due elementi è un numero complesso che potrebbe non appartenere a . Sia l'elemento di più vicino a ottenuto arrotondando separatamente le parti reale e immaginaria.
Allora si può scrivere:
da cui segue
Si ponga quindi .
Da esso si ottiene:
Poiché rappresenta uno dei quattro vertici più vicini nella griglia dei numeri al valore complesso , la distanza tra e è limitata superiormente dalla semidiagonale del quadrato, ossia da .
Quindi:
Dato che , segue che
ossia è sicuramente strettamente minore di .
Quindi è un dominio euclideo e, pertanto, è anche un dominio a ideali principali (quindi è anche un dominio a fattorizzazione unica).
Rappresentando i numeri complessi come un piano sui numeri reali, le due rette dei numeri reali e dei numeri puramente immaginari contengono infiniti numeri primi di Gauss. Non è nota alcun'altra retta per cui valga questa proprietà, in particolare non è noto se vi siano infiniti primi di Gauss della forma
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![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb {Z} \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcae5f79a1faa97c69658efe5cc52a5cee077d23)
