Lituo (matematica)

Il lituo è un tipo di spirale archimedea in cui (in coordinate polari) l'anomalia $θ$ è inversamente proporzionale al quadrato del raggio vettore $r$ .

r^{2} θ = k,

con $k$ costante reale non nulla. Esso è asintotico alla retta di equazione $θ = 0$ (l'asse delle $x$ in coordinate cartesiane) e si avvicina asintoticamente all'origine degli assi.

Il lituo è composto da due rami, uno corrispondente ai valori positivi di $r$ e l'altro corrispondente ai valori negativi.

Storia

Il professore di Cambridge Roger Cotès (1682-1716) fu il primo a studiare la curva. Il suo lavoro è stato pubblicato solo dopo la sua morte. Fu però il matematico scozzese Colin Maclaurin a dare alla curva il suo nome nel suo libro "Harmonia Mensurarum" (1722) usando la rassomiglianza della curva con un pastorale (in latino lituus).

Proprietà

Poiché l'area del settore circolare è:

A = \frac{1}{2} r^{2} θ,

è facile vedere come una definizione alternativa del lituo è: il luogo dei punti individuato da un punto $P$ che si muove in modo tale che l'area di un settore circolare di raggio $O P,$ con $O$ origine degli assi cartesiani, rimane costante all'aumentare dell'angolo. In altre parole, supponiamo che $M_{1}$ sia un punto sulla curva, e $M_{2}$ un punto posto sull'asintoto a distanza $O M_{1}$ dall'origine $O .$ Allora l'area del settore circolare $O M_{1} M_{2}$ rimane costante mentre $M_{1}$ si sposta verso il centro sulla curva. Un'immagine chiarificatrice è qui a destra.

La curva ha punti di flesso in $(θ, r) = (\frac{1}{2}, k \sqrt{2})$ e $(θ, r) = (\frac{1}{2}, - k \sqrt{2})$ dove $k$ è la costante della curva

La curvatura $K$ e l'angolo tangente $ϕ$ sono date da:

K (θ) = (8 θ^{2} - 2) {(\frac{θ}{1 + 4 θ^{2}})}^{\frac{3}{2}},

ϕ (θ) = θ - \arctan (2 θ) .

Coordinate cartesiane

Il ramo della curva corrispondente ai valori positivi di $r$ può anche essere rappresentato in coordinate cartesiane nel seguente modo:

{\begin{matrix} x = r \cos θ = \sqrt{\frac{k}{θ}} \cos θ \\ y = r \sin θ = \sqrt{\frac{k}{θ}} \sin θ \end{matrix}

Note

↑ enciclopedia Treccani
1 2 Nature-Inspired Computing: Physics and Chemistry-Based Algorithms, Nazmul H. Siddique, Hojjat Adeli (2017) edit. CRC Press
↑ 2dcurves.com, https://www.2dcurves.com/spiral/spirall.html#notes Titolo mancante per url url (aiuto).
1 2 Copia archiviata (PDF), su mrnaylorswebplace.com. URL consultato il 30 agosto 2018 (archiviato dall'url originale il 30 agosto 2018).
↑ A.A. Savelov, "Planar curves" , Moscow (1960)

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Lituus, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] Treccani

[Nature-Inspired_Computing_2017-2] 1 2 Nature-Inspired Computing: Physics and Chemistry-Based Algorithms, Nazmul H. Siddique, Hojjat Adeli (2017) edit. CRC Press

[3] 2dcurves.com, https://www.2dcurves.com/spiral/spirall.html#notes Titolo mancante per url url (aiuto).

[mrnaylorswebplace.com-4] 1 2 Copia archiviata (PDF), su mrnaylorswebplace.com. URL consultato il 30 agosto 2018 (archiviato dall'url originale il 30 agosto 2018).

[5] A.A. Savelov, "Planar curves" , Moscow (1960)