Spirale archimedea

Una spirale archimedea o spirale di Archimede, così chiamata dal nome del matematico Archimede, è una curva che può essere descritta in coordinate polari $(r, θ)$ dalla seguente equazione:

r (θ) = a + b θ,

con $a$ e $b$ numeri reali e $b$ strettamente positivo. La modifica del parametro $a$ ruota la spirale, mentre $b$ controlla la distanza fra i bracci.

La spirale di Archimede si distingue dalla spirale logaritmica per il fatto che i bracci successivi hanno una distanza fissa (uguale a $2 π b$ se $θ$ è misurato in radianti), mentre in una spirale logaritmica le distanze seguono una progressione geometrica.

Questa spirale archimedea ha due bracci, uno per $θ > - a / b$ e uno per $θ < - a / b$ . I due bracci hanno un raccordo liscio all'origine. Un braccio si ottiene dall'altro costruendo la sua immagine speculare rispetto a un opportuno asse.

Talvolta l'espressione «spirale di Archimede» è usato per un gruppo più generale di spirali:

r (θ) = a + b θ^{1 / x} .

La normale spirale archimedea si ottiene per $x = 1$ . Altre spirali che ricadono in questo gruppo sono la spirale iperbolica ( $x = - 1$ ), la spirale di Fermat ( $x = 2$ ), e il lituo ( $x = - 2$ ). Quasi tutte le spirali che si trovano in natura sono spirali logaritmiche, e non di Archimede.

Equazione parametrica

La rappresentazione parametrica della spirale archimedea, al variare del parametro $θ$ in $[- \frac{a}{b}, + \infty)$ , è data da

{\begin{matrix} x (θ) = (a + b θ) \cos θ \\ y (θ) = (a + b θ) \sin θ, \end{matrix}

con $a$ e $b$ numeri reali e $b$ strettamente positivo.

Curiosità

Il problema della rettificazione della circonferenza, che tanti sforzi costò agli antichi geometri, fu risolto anche da Archimede, introducendo una nuova curva, oltre a quelle generabili con il solo uso di riga e compasso. Questa era proprio la sua spirale. Egli riuscì a produrre un risultato che se si pensa agli strumenti matematici dell'epoca ha dell'incredibile.

Si consideri il cosiddetto primo cerchio di Archimede (si veda la figura a lato). Si tracci la retta $s$ normale al raggio $A H$ del primo cerchio di centro $A$ e passante per l'origine della spirale. Si consideri, poi, la retta tangente alla spirale in $H$ che interseca la retta $s$ in un punto che chiamiamo $F .$ Archimede dimostra che il segmento $F A$ è la rettificazione della circonferenza del cerchio di raggio $A H$ . Così facendo, Archimede, sposta il problema della rettificazione della circonferenza a quello di tracciare la tangente alla spirale, cosa che con il solo uso di riga e compasso è impossibile.

Note

↑ Per primo cerchio si intende il cerchio generato dal raggio vettore della spirale dopo una rotazione completa.
↑ Nell'opera Sulle spirali, si legge,
PROPOSIZIONE 18: Se una linea retta è tangente ad una spirale, nella prima rotazione, nel termine [H] della spirale stessa e se dal punto che è principio della spirale si conduce una retta perpendicolare alla retta principio della rotazione, la [retta] così condotta incontra la tangente e il segmento di retta compreso fra la tangente e il principio della spirale sarà uguale alla circonferenza del primo cerchio.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

Archimede, spirale di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Archimedes' Spiral, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Spirale archimedea, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 38486 · LCCN (EN) sh85006546 · BNF (FR) cb122113122 (data) · J9U (EN, HE) 987007294833405171

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[1] Per primo cerchio si intende il cerchio generato dal raggio vettore della spirale dopo una rotazione completa.

[2] Nell'opera Sulle spirali, si legge,
PROPOSIZIONE 18: Se una linea retta è tangente ad una spirale, nella prima rotazione, nel termine [H] della spirale stessa e se dal punto che è principio della spirale si conduce una retta perpendicolare alla retta principio della rotazione, la [retta] così condotta incontra la tangente e il segmento di retta compreso fra la tangente e il principio della spirale sarà uguale alla circonferenza del primo cerchio.