Ministero episcopale e cardinalato
Il 16 dicembre 1991 papa Giovanni Paolo II lo ha nominato vescovo titolare di Nepte. Ha ricevuto la consacrazione episcopale il 6 gennaio 1992, nella basilica di San Pietro in Vaticano, per imposizione delle mani dello stesso pontefice, co-consacranti i monsignori Giovanni Battista Re, arcivescovo titolare di Vescovio e sostituto per gli affari generali della Segreteria di Stato, e Josip Uhač, arcivescovo titolare di Tharros e segretario della Congregazione per l'evangelizzazione dei popoli.
Il 1º ottobre 2002 è stato nominato presidente del Pontificio consiglio per il dialogo interreligioso, venendo contestualmente elevato alla dignità di arcivescovo. Contemporaneamente è stato nominato anche presidente della Commissione per le relazioni religiose con i musulmani. È succeduto in entrambi gli incarichi al cardinale Francis Arinze, nominato lo stesso giorno prefetto della Congregazione per il culto divino e la disciplina dei sacramenti.
Il 15 febbraio 2006 papa Benedetto XVI lo ha nominato nunzio apostolico in Egitto e delegato presso l'Organizzazione della Lega degli Stati Arabi; è succeduto a mons. Marco Dino Brogi, O.F.M.. Questo allontanamento dalla Curia romana è da alcuni interpretato come conseguenza delle sue posizioni sul dialogo con l'Islam.
Il 23 ottobre 2012, un mese dopo il compimento del settantacinquesimo genetliaco, ha terminato l'incarico diplomatico. In seguito è ritornato in patria, e da allora presta servizio presso una parrocchia di Liverpool.
Il 1º settembre 2019 papa Francesco ne ha annunciato la creazione a cardinale nel concistoro del 5 ottobre successivo. Ha ricevuto la diaconia di Santa Maria in Portico Campitelli, della quale ha preso possesso il 1º febbraio 2020.
