Maggiorante e minorante

In matematica, un maggiorante di un insieme è un qualsiasi elemento che è maggiore o uguale a tutti gli elementi dell'insieme. Per poter parlare di maggiore o uguale abbiamo bisogno di una relazione d'ordine, quindi l'insieme deve essere ordinato. È sempre meglio supporre che gli insiemi di cui si tratta siano sottoinsiemi di insiemi più grandi.

Sia $(X, \leq)$ un insieme ordinato e $E \subseteq X, E \neq ∅︀$ ; si dice che un elemento $y \in X$ è un maggiorante di $E$ se per ogni $x \in E$ si ha $x \leq y$ .

Analogamente si definisce un minorante di un insieme $E$ come un elemento $y \in X$ tale che per ogni $x \in E$ si ha $x \geq y$ .

Se $E$ ammette almeno un maggiorante (minorante) allora si dice che $E$ è un insieme limitato superiormente (inferiormente). Un insieme che possiede sia maggioranti che minoranti si dice limitato.

In informatica, per lo studio dei costi di un algoritmo si utilizzano i rispettivi termini inglesi upper bound e lower bound.

Esempi

$X = ℕ, E = {1, 2, 3}$ , allora i suoi maggioranti sono ${3, 4, 5, 6, \dots}$ , notare che anche 3 è maggiorante. I suoi due minoranti sono 0 e 1.
$X = ℝ, E = {1, 2, 3}$ , i suoi maggioranti sono ${x \in ℝ : x \geq 3}$ e i suoi minoranti ${x \in ℝ : x \leq 1}$ .
$X = ℝ, E = ℝ$ non ha maggioranti né minoranti.
Nell'insieme degli interi positivi, parzialmente ordinato dalla relazione di divisibilità, l'insieme ${2, 3, 4, 5, 6}$ ammette come maggioranti 60 e 120; 60 è il minimo dei suoi maggioranti.
Nell'insieme degli interi positivi, parzialmente ordinato dalla relazione di divisibilità, l'insieme ${20, 30, 40}$ ammette come minoranti 2, 5 e 10; 10 è il massimo dei suoi minoranti.

Voci correlate

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