Misura deltiforme

In teoria della misura, la misura deltiforme o misura di Dirac è una misura che assume solo i valori 1 o 0. Sia $X$ un insieme (con una sigma algebra di suoi sottoinsiemi), $E \in X$ un insieme misurabile e $x \in X$ . La misura deltiforme è la misura $δ_{x}$ su $X$ tale per cui la misura di $E$ è 1 se $x \in E$ e 0 altrimenti:

δ_{x} (E) = {\begin{matrix} 0 & x \in̸ E \\ 1 & x \in E \end{matrix}

Fa la stessa cosa della funzione indicatrice.

La misura deltiforme di un insieme $E$ può anche essere scritta:

δ_{x} (E) = \int_{E} d δ_{x}

Usando la misura di Lebesgue e la funzione generalizzata delta di Dirac $δ$ si può anche scrivere:

δ_{x} (E) = \int_{E} δ (y - x) d μ (y)

In modo analogo l'integrale di una funzione $f$ rispetto alla misura deltiforme può essere scritto:

\int_{X} f (y) d δ_{x} = \int_{X} f (y) δ (y - x) d μ (y) = f (x)

Il supporto della misura deltiforme $μ_{δ}$ è il singoletto ${x_{0}}$ .

Bibliografia

(EN) Jean Dieudonné, Examples of measures, in Treatise on analysis, Part 2, Academic Press, 1976, p. 100, ISBN 0-12-215502-5.
(EN) John Benedetto, §2.1.3 Definition, δ, in Harmonic analysis and applications, CRC Press, 1997, p. 72, ISBN 0-8493-7879-6.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Dirac measure, in PlanetMath.

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