Numero indice

Approccio statistico

Nell'approccio statistico i prezzi vengono ponderati con le quantità del tempo (o luogo) scelto come base, con quelle del tempo (o luogo) per il quale l'indice viene calcolato, o con una loro media.

Analogamente viene fatto per gli indici di quantità. Nel seguito tuttavia si farà riferimento, per brevità, solamente ad indici relativi a variazioni di prezzo nel tempo.

In particolare, si hanno:

• l'indice di Laspeyres dei prezzi di un aggregato costituito da N beni, che è una media ponderata di N indici semplici di prezzo, nella quale si usano come pesi le quote del valore di ciascun bene sul valore complessivo come risultavano al tempo 0:

${\displaystyle \ P_{L}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{1}}{p_{i}^{0}}}w_{i}^{0}}$

dove: ${\displaystyle \ w_{i}^{0}={\frac {p_{i}^{0}q_{i}^{0}}{\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{0}q_{i}^{0}}},\quad \sum _{i=1}^{N}w_{i}^{0}=1}$ e quindi:

${\displaystyle \ P_{L}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{1}}{p_{i}^{0}}}p_{i}^{0}q_{i}^{0}}{\sum _{i=1}^{N}p_{1}^{0}q_{i}^{0}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{1}q_{i}^{0}}{\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{0}q_{i}^{0}}}}$

• l'indice di Paasche, che è una media armonica ponderata degli indici semplici, nella quale si usano come pesi le quote di valore al tempo corrente (quello relativamente al quale l'indice viene calcolato):

${\displaystyle P_{P}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {p_{i}^{1}}{p_{i}^{0}}}\right)^{-1}w_{i}^{1}}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{0}}{p_{i}^{1}}}w_{i}^{1}}}}$

dove: ${\displaystyle w_{i}^{1}={\frac {p_{i}^{1}q_{i}^{1}}{\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{1}q_{i}^{1}}},\quad \sum _{i=1}^{N}w_{i}^{1}=1}$ e quindi:

${\displaystyle \ P_{P}={\frac {\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{1}q_{i}^{1}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{0}}{p_{i}^{1}}}p_{1}^{1}q_{i}^{1}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{1}q_{i}^{1}}{\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{0}q_{i}^{1}}}}$

• l'indice di Fisher, media geometrica dei due precedenti:

${\displaystyle \ P_{F}={\sqrt {P_{L}\cdot P_{P}}}}$

• l'indice di Marshall e Edgeworth, che usa la media aritmetica delle quantità tra il tempo 0 e il tempo 1:

${\displaystyle \ P_{ME}={\frac {\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{1}{\frac {q_{i}^{0}+q_{i}^{1}}{2}}}{\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{0}{\frac {q_{i}^{0}+q_{i}^{1}}{2}}}}}$

• l'indice di Walsh, che usa la media geometrica delle quantità:

${\displaystyle P_{W}={\frac {\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{1}{\sqrt {q_{i}^{0}q_{i}^{1}}}}{\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{0}{\sqrt {q_{i}^{0}q_{i}^{1}}}}}}$

• l'indice di Törnqvist, che è una media geometrica ponderata degli indici semplici, nella quale si usano come pesi le medie aritmetiche delle quote di valore dei beni sul valore complessivo:

${\displaystyle \ P_{T}=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {p_{i}^{1}}{p_{i}^{0}}}\right)^{\frac {v_{i}^{0}+v_{i}^{1}}{2}}}$

dove: ${\displaystyle \ v_{i}^{t}={\frac {p_{i}^{t}q_{i}^{t}}{\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{t}q_{i}^{t}}}}$.

L'indice di Laspeyres tende a sovrastimare l'aumento dei prezzi. Se il prezzo di un bene aumenta, infatti, normalmente la quantità di esso che viene consumata diminuisce; ne dovrebbe seguire un peso minore del bene al tempo 1, ma, usando il peso che il bene aveva al tempo 0, l'indice semplice del prezzo di quel bene viene aggiunto agli altri con un peso eccessivo.

L'indice di Paasche tende invece a sottostimare l'aumento dei prezzi per il motivo opposto: i prezzi dei beni che aumentano di più vengono ponderati secondo le quantità al tempo 1, quindi con pesi che già scontano la riduzione delle quantità conseguenti all'aumento di prezzo.

Gli indici di Marshall e Edgeworth e quello di Walsh sembrano risentire meno del problema, ma ne presentano un altro: nei confronti tra i prezzi di paesi diversi in uno stesso arco di tempo, la ponderazione risulta fortemente influenzata dal paese più grande.

Approccio assiomatico

Nell'approccio assiomatico si definiscono i test che un indice complesso deve superare per essere adeguato allo scopo per il quale viene elaborato.

Sono stati definiti numerosi test. I più usati sono:

1. identità: se prezzi e quantità sono uguali sia al tempo 0 che al tempo 1, l'indice deve valere 1; l'identità deve sussistere anche se tutte le quantità al tempo 0 vengono moltiplicate per uno stesso coefficiente α e tutte quelle al tempo 1 per uno stesso coefficiente β; ovvero, se${\displaystyle \ p^{1}=p^{0}}$ e ${\displaystyle \ q^{1}=q^{0}}$, allora per qualsiasi α>0 e per qualsiasi β>0:
      ${\displaystyle \ P(p^{0},\alpha q^{0},p^{1},\beta q^{1})=1}$
2. proporzionalità: se tutti i prezzi al tempo 1 sono moltiplicati per un coefficiente α>0, l'indice dei prezzi risulta anch'esso moltiplicato per α:
      ${\displaystyle \ P(p^{0},q^{0},\alpha p^{1},q^{1})=\alpha P(p^{0},q^{0},p^{1},q^{1})}$
3. indipendenza dall'unità di misura: l'indice deve rimanere invariato se cambia l'unità di misura (ad esempio, se si usano tonnellate invece che quintali per il grano, la quantità risulta divisa per 10 e il prezzo moltiplicato per 10; analogamente per altre merci), quindi per qualsiasi α_i 0:
      ${\displaystyle \ {\begin{aligned}P(&\alpha _{1}p_{1}^{0},\dots ,\alpha _{N}p_{N}^{0};\alpha _{1}^{-1}q_{1}^{0},\dots ,\alpha _{N}^{-1}q_{N}^{0};\alpha _{1}p_{1}^{1},\dots ,\alpha _{N}p_{N}^{1};\alpha _{1}^{-1}q_{1}^{1},\dots ,\alpha _{N}^{-1}q_{N}^{1})=P(p^{0},q^{0},p^{1},q^{1})\end{aligned}}}$
4. determinatezza: l'indice non deve annullarsi né tendere all'infinito se uno dei termini elementari della formula si annulla o tende all'infinito (può succedere, ad esempio, se la quantità di un bene risulta nulla al tempo 0 o al tempo 1);
5. reversibilità delle basi: l'indice al tempo 0 con base 1 deve essere il reciproco dell'indice al tempo 1 con base 0:
      ${\displaystyle \ P(p^{1},q^{1},p^{0},q^{0})={\frac {1}{P(p^{0},q^{0},p^{1},q^{1})}}}$
6. inversione dei fattori: l'indice che esprime la variazione del valore (prezzi per quantità) deve essere uguale al prodotto degli indici dei prezzi e delle quantità:
      ${\displaystyle \ {\frac {V^{1}}{V^{0}}}=P(p^{0},q^{0},p^{1},q^{1})\cdot Q(p^{0},q^{0},p^{1},q^{1})}$
7. transitività (o circolarità): se si hanno due indici bilaterali, l'uno dal tempo 0 al tempo 1 e l'altro dal tempo 1 al tempo 2, l'indice bilaterale dal tempo 0 al tempo 2 deve essere uguale al loro prodotto:
      ${\displaystyle \ P(p^{0},q^{0},p^{2},q^{2})=P(p^{0},q^{0},p^{1},q^{1})\cdot P(p^{1},q^{1},p^{2},q^{2})}$

Gli indici di Laspeyres e di Paasche soddisfano solo i primi quattro test.

L'indice di Törnqvist e quelli di Marshall e Edgeworth e di Walsh superano anche il test di reversibilità delle basi.

L'indice di Fisher supera tutti i test tranne la transitività.

Approccio microeconomico

Gli indici di Laspeyres e di Paasche, come già notato, risentono di una distorsione da sostituzione in quanto, usando come pesi l'uno le quantità al tempo 0 e l'altro quelle al tempo 1, non tengono conto dell'effetto sostituzione, cioè delle variazioni di quantità indotte da variazioni dei prezzi (i consumatori tendono, normalmente, a sostituire un bene il cui prezzo è aumentato con un altro il cui prezzo sia aumentato meno o diminuito).

L'approccio microeconomico tenta di tenere conto di tali variazioni delle quantità, assumendo che il consumatore reagisca a variazioni dei prezzi modificando le proprie abitudini di consumo in modo da mantenere costante il proprio livello di utilità, minimizzando la spesa. In altri termini, tenta di costruire un indice del costo della vita misurando l'aumento di spesa necessario per mantenere costante il grado di soddisfazione insito nel tenore di vita.

Si possono definire due indici, secondo che si consideri costante il livello di utilità iniziale o finale. In particolare, indicando con${\displaystyle \ C(p^{a},u(q^{b}))}$ la funzione di spesa, cioè l'esborso minimo necessario, dato il vettore dei prezzi p^a, a raggiungere il livello di utilità garantito dal consumo del paniere q^b, abbiamo:

• l'indice di Könus-Laspeyres:

${\displaystyle \ P_{KL}(p^{0},q^{0},p^{1},q^{1})={\frac {C(p^{1},u(q^{0}))}{C(p^{0},u(q^{0}))}}}$

• l'indice di Könus-Paasche:

${\displaystyle \ P_{KP}(p^{0},q^{0},p^{1},q^{1})={\frac {C(p^{1},u(q^{1}))}{C(p^{0},u(q^{1}))}}}$

Si tratta di indici non concretamente applicabili, per l'impossibilità di rilevare le funzioni di utilità (oppure, equivalentemente, le curve di indifferenza o le preferenze rivelate) per l'intera popolazione.

Si può tuttavia osservare che:

• come già notato, l'indice di Laspeyres tende a sovrastimare l'aumento dei prezzi, quello di Paasche a sottostimarlo; in generale, quindi, si avrà:

${\displaystyle P_{P}\leq P_{L}}$;

• l'indice di Könus-Laspeyres è minore di quello di Laspeyres, in quanto tiene conto del minor consumo dei beni il cui prezzo relativo è aumentato;
• l'indice di Könus-Paasche è maggiore di quello di Paasche, in quanto tiene conto del maggior consumo che si aveva inizialmente dei beni il cui prezzo relativo è aumentato;
• l'indice di Fisher, essendo media geometrica di quelli di Laspeyres e di Paasche, è intermedio tra i due:

${\displaystyle \ P_{P}\leq P_{F}\leq P_{L}}$,

e costituisce pertanto una buona approssimazione ad un indice del costo della vita.