Operatore di Hodge

In algebra lineare, l'operatore di Hodge o stella di Hodge, introdotto dal matematico britannico William Hodge, è un operatore sull'algebra esterna di uno spazio vettoriale euclideo orientato . Di solito è indicato da un asterisco o da una stella che precede l'elemento a cui è applicato. Se la dimensione dello spazio è n, l'operatore lega k-vettori con (n − k)-vettori: questa corrispondenza è detta dualità di Hodge. Il duale di Hodge di un vettore è il vettore ottenuto dall'applicazione dell'operatore di Hodge.

In geometria differenziale, l'operatore di Hodge può essere esteso a fibrati vettoriali riemanniani orientati. Applicato allo spazio cotangente delle varietà riemannane orientate, l'operatore di Hodge permette di definire una norma L² sullo spazio delle forme differenziali. Il codifferenziale è quindi definito come la forma aggiunta della derivata esterna . Questo codifferenziale interviene in particolare nella definizione delle forme armoniche.

Definizione

Operatore di Hodge su k -vettori

Sia E uno spazio vettoriale euclideo orientato di dimensione finita n . I sottospazi $\land^{k} (E)$ e $\land^{n - k} (E)$ k -vettori e (n − k) -vettori sono della stessa dimensione, ovvero il coefficiente binomiale $(\binom{n}{k})$ . L'operatore di Hodge è un isomorfismo lineare indicato con $*$ tra questi due spazi. Per qualsiasi base ortonormale diretta $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ , si ha

* (e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{k}) = e_{k + 1} \land e_{k + 2} \land \dots \land e_{n} .

Si estende quindi per linearità a tutta l'algebra esterna. Si può dimostrare che questa definizione, nonostante coinvolga una base, è indipendente dalla base scelta.

Una definizione più adatta consiste nel coinvolgere la forma di volume $ω$ dello spazio vettoriale euclideo orientato $E$ . Il duale di Hodge si ottiene eseguendo la contrazione

* X = ⟨ ω, X ⟩

Dualità

Per un k -vettore $η \in \land^{k} (E)$ dello spazio n-dimensionale $E$ , applicando due volte l'operatore di Hodge si ottiene l'identità, a meno di un segno

* * η = (- 1)^{k (n - k)} η

Applicazioni

Prodotto scalare sull'algebra esterna

L'operatore di Hodge permette di definire un prodotto scalare sull'algebra esterna mediante la relazione

ζ \land * η = ⟨ ζ | η ⟩ * 1 = ⟨ ζ | η ⟩ \overline{ω}

Per questo prodotto scalare, i k -vettori ottenuti per prodotto esterno dalla base ortonormale di $E$ costituiscono una base ortonormale di $\land^{k} (E)$ .

Estensione agli spazi quadratici

È possibile definire un operatore di Hodge per uno spazio quadratico . La formula della dualità viene quindi modificata per tenere conto della segnatura della forma quadratica su $E$ . Precisamente, moltiplichiamo il secondo membro per il discriminante di questa forma quadratica. Quindi se $n = 4$ e se la segnatura è $(+, -, -, -)$ o $(-, +, +, +)$ , l'esponente è $k (n k) + 1$ .

Bibliografia

(en) Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 2002
(en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin e Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry
(en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry, 2003

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Hodge Star, su MathWorld, Wolfram Research.

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