Operatore di Stokes

L'operatore di Stokes, che prende il nome da George Gabriel Stokes, è un operatore lineare limitato usato nella teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, particolarmente in fluidodinamica ed elettromagnetismo.

Definizione

L'operatore di Stokes $A$ è definito come

A := - P_{σ} Δ,

dove $P_{σ}$ è la proiezione di Leray e $Δ \equiv \nabla^{2}$ è il laplaciano. $A$ è definito su $𝒟 (A) = H^{2} \cap V$ , dove $V = {\vec{u} \in (H_{0}^{1} (Ω))^{n} | div \vec{u} = 0}$ . $Ω$ è un insieme aperto limitato in $ℝ^{n}$ , $H^{2} (Ω)$ e $H_{0}^{1} (Ω)$ sono spazi di Sobolev, e la divergenza di $\vec{u}$ è nel senso delle distribuzioni.

Proprietà

Per un dato dominio $Ω$ aperto, limitato e con contorno in $C^{2}$ , l'operatore di Stokes $A$ è un operatore autoaggiunto definito positivo rispetto al prodotto interno di $L^{2}$ . Ha una base ortonormale di autofunzioni ${w_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ che corrispondono agli autovettori ${λ_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ che soddisfa

0 < λ_{1} < λ_{2} \leq λ_{3} \dots \leq λ_{k} \leq \dots

con $λ_{k} \to \infty$ per $k \to \infty$ . Il più piccolo degli autovettori è unico e non nullo. Queste proprietà permettono di definire le potenze dell'operatore di Stokes. Sia $α > 0$ un numero reale, allora $A^{α}$ può essere definito tramite la sua azione su $\vec{u} \in 𝒟 (A)$ :

A^{α} \vec{u} = \sum_{k = 1}^{\infty} λ_{k}^{α} u_{k} \vec{w_{k}}

dove $u_{k} := (\vec{u}, \vec{w_{k}})$ e $(\cdot, \cdot)$ è il prodotto interno di $L^{2} (Ω)$ .

L'inverso $A^{- 1}$ dell'operatore di Stokes è un operatore compatto e autoaggiunto nello spazio $H := {\vec{u} \in (L^{2} (Ω))^{n} | div \vec{u} = 0 e γ (\vec{u}) = 0}$ , dove $γ$ è l'operatore traccia. Inoltre, $A^{- 1} : H \to V$ è iniettivo.

Bibliografia

Roger Temam, Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, AMS Chelsea Publishing, 2001, ISBN 0-8218-2737-5.
Constantin, Peter and Foias, Ciprian. Navier-Stokes Equations, University of Chicago Press, (1988)

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